[論文レビュー] Overlap properties of geometric expanders

Jacob Fox, M. Gromov+3 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|May 9, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d次元空間における無限個の有界次数、(d+1)-一様超グラフ族が一様に正の重複数を有することを確立する。確率的および決定的構成法を用いて、このような超グラフが強い幾何的重複性を示すことを証明しており、n→∞のとき完全超グラフの極限に漸近的に近づく重複数を持つ。また、幾何的組合せ論への応用を持つ、R^dにおける測度の新しい分割定理を提示する。

ABSTRACT

The {\em overlap number} of a finite $(d+1)$-uniform hypergraph $H$ is defined as the largest constant $c(H)\in (0,1]$ such that no matter how we map the vertices of $H$ into $\R^d$, there is a point covered by at least a $c(H)$-fraction of the simplices induced by the images of its hyperedges. In~\cite{Gro2}, motivated by the search for an analogue of the notion of graph expansion for higher dimensional simplicial complexes, it was asked whether or not there exists a sequence $\{H_n\}_{n=1}^\infty$ of arbitrarily large $(d+1)$-uniform hypergraphs with bounded degree, for which $\inf_{n\ge 1} c(H_n)>0$. Using both random methods and explicit constructions, we answer this question positively by constructing infinite families of $(d+1)$-uniform hypergraphs with bounded degree such that their overlap numbers are bounded from below by a positive constant $c=c(d)$. We also show that, for every $d$, the best value of the constant $c=c(d)$ that can be achieved by such a construction is asymptotically equal to the limit of the overlap numbers of the complete $(d+1)$-uniform hypergraphs with $n$ vertices, as $n ightarrow\infty$. For the proof of the latter statement, we establish the following geometric partitioning result of independent interest. For any $d$ and any $ε>0$, there exists $K=K(ε,d)\ge d+1$ satisfying the following condition. For any $k\ge K$, for any point $q \in \mathbb{R}^d$ and for any finite Borel measure $μ$ on $\mathbb{R}^d$ with respect to which every hyperplane has measure $0$, there is a partition $\mathbb{R}^d=A_1 \cup \ldots \cup A_{k}$ into $k$ measurable parts of equal measure such that all but at most an $ε$-fraction of the $(d+1)$-tuples $A_{i_1},\ldots,A_{i_{d+1}}$ have the property that either all simplices with one vertex in each $A_{i_j}$ contain $q$ or none of these simplices contain $q$.

研究の動機と目的

• 高次元における、高重複性で有界次数の単体的複体の存在について、グロモフが提起した問いを解決すること。
• 有界次数ですらも、スパースな超グラフの重複数がゼロから離れて保証されることを確立すること。
• このような構成における最適重複定数c(d)が、n→∞のとき完全超グラフの重複数の漸近的極限と一致することを証明すること。
• R^dにおける測度の新しい分割結果を構築し、幾何的重複および組合せ幾何学への応用を含むこと。

提案手法

• 確率的補題を用いて、R^dへの超グラフのランダム埋め込みが、正の確率で高い重複を実現することを示す。
• エクスパンダーグラフ構成法を応用し、一様に正の重複性を有する決定的で有界次数の超グラフを生成する。
• 新規の分割定理を導入：任意のε>0およびdに対して、あるKが存在し、R^dをk≥K個の測度が等しい可測部分に分割可能であり、そのうちほとんどすべての(d+1)組の部分集合は、それらの単体に共通の点を含むか、まったく含まないかのいずれかである。
• ハフディング型の不等式を用いた集中不等式を適用し、ランダムな頂点写像における重複率の乖離を制御する。
• トポロジカル組合せ論および測度論の結果（ボロス＝フェーリー定理の位相的証明を含む）を活用する。
• 完全な(d+1)-一様超グラフの重複数を分析し、スパース構成における最適定数c(d)が、これらの完全超グラフの重複数の極限と漸近的に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d≥2に対して、R^dにおける有界次数および一様に正の重複数を有する(d+1)-一様超グラフ族が無限に存在するか？
• RQ2 n→∞のとき、完全な(d+1)-一様超グラフの重複数の極限に漸近的に一致するか、スパース構成における最適重複定数c(d)が達成可能か？
• RQ3 R^dにおける可測集合の(d+1)組のほとんどが、一様な単体包含性を示すために必要な幾何的分割性の性質は何か？
• RQ4 非アフィンで連続な単体写像において、重複性の性質が高次元で保たれるか？
• RQ5 超グラフの重複数とその1スケルトンの構造との関係は何か、特にスケルトンがエクスパンダーである場合にどうなるか？

主な発見

• 本稿は、有界次数および正の定数c(d) > 0で下から有界な重複数を有する(d+1)-一様超グラフ族を無限に構成し、グロモフの問いに肯定的に答えている。
• このようなスパース構成で達成可能な最適重複定数c(d)は、n→∞のとき完全な(d+1)-一様超グラフの重複数の極限と漸近的に等しい。
• 測度分割に関する新規の結果を証明した：任意のdおよびε>0に対して、あるKが存在し、R^dをk≥K個の等しい測度の部分に分割可能であり、(d+1)組のうちε分の1未満を除くすべての組が、固定点qに関して一様な単体包含性を示す。
• d=2の場合、構成により重複数が少なくとも2/9 - o(1)に達し、ボロス＝フェーリー定理の漸近的上限と一致する。
• 確率的補題により、ランダムな頂点写像がR^dに与えられたとき、確率的に高い確率で、c(H)以上の分数の単体が共通の点を被覆する構成が得られる。ここでc(H)はゼロから離れて保たれる。
• 本稿は、エクスパンダーに基づく構成およびビルディングの有限商を用いた構成が、高重複性の単体的複体を生成することを示しているが、d≥3では非アフィン連続写像において重複性が保たれないことを示している。