[論文レビュー] Overlapping Multi-Patch Isogeometric Method with Minimal Stabilization

Pablo Antolín, Annalisa Buffa+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ブール結合演算によって形成される複雑な幾何形状における解析を可能にする、最小限の安定化を伴う重複するマルチパッチ・アイソジオメトリック法を提案する。非適合でトリムされたスプラインパッチを重ね合わせ、面積比に基づく安定化を用いたニツィェの方法を適用することで、2次元幾何形状におけるポアソン問題および線形弾性問題に対して安定性と最適収束性を確保する。

ABSTRACT

We present a novel method for isogeometric analysis (IGA) to directly work on geometries constructed by Boolean operations including difference (i.e., trimming), union and intersection. Particularly, this work focuses on the union operation, which involves multiple independent, generally non-conforming and trimmed spline patches. Given a series of patches, we overlay one on top of another in a certain order. While the invisible part of each patch is trimmed away, the visible parts of all the patches constitute the entire computational domain. We employ the Nitsche's method to weakly couple independent patches through visible interfaces. Moreover, we propose a minimal stabilization method to address the instability issue that arises on the interfaces shared by small trimmed elements. We show in theory that our proposed method recovers stability and guarantees well-posedness of the problem as well as optimal error estimates. In the end, we numerically verify the theory by solving the Poisson's equation on various geometries that are obtained by the union operation.

研究の動機と目的

• CADで一般的ながブール結合によって構築される複雑な2次元幾何形状におけるアイソジオメトリック解析を可能にすること。
• 重複するパッチ間の界面で生じる小さなトリム要素（悪質な要素）によって引き起こされる不安定性を解消すること。
• 収束性を損なわず計算コストを増加させない、最小限の安定化戦略を構築すること。
• 重複するマルチパッチアイソジオメトリック定式化の適切な定式化と最適誤差推定を保証する理論的基盤を提供すること。
• トリミング、重複、およびブール結合による複雑な幾何形状を含む実用的例において、本手法の頑健性と収束性を示すこと。

提案手法

• 指定された順序で、複数の独立的で非適合かつトリムされたスプラインパッチを重ね合わせ、可視部分が計算領域を形成する。
• 可視パッチ間の界面において連続性を弱く強制するためにニツィェの方法を用い、適合メッシュを必要とせずにパッチを結合する。
• 要素の面積比に基づく最小限の安定化技術を導入し、面積比が10%未満の要素に対して片側フラックスを用いて安定化を行う。
• 切断要素の積分を正確に処理するため、界面要素用に特別な数値積分メッシュを構築する。
• 安定化をテストで3–7%の要素に限定して適用することで、計算オーバーヘッドを最小限に抑えつつ安定性を確保する。
• 一般的な幾何配置下で理論的適切性と最適誤差推定（$H^1$および$L^2$ノルム）を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール結合を伴う非適合でトリムされたパッチからなる幾何形状に対して、安定かつ収束するアイソジオメトリック法を開発可能か？
• RQ2 小さなトリム要素に起因する不安定性を、収束速度を損なわず計算コストを増加させずにどのように是正できるか？
• RQ3 重複するマルチパッチアイソジオメトリック解析において、適切な定式化と最適誤差推定を保証する最小限の安定化戦略は何か？
• RQ4 複雑な界面や幾何誤差が存在する状況下でも、本手法が最適収束性をどの程度維持できるか？
• RQ5 本手法を3次元ボリューム表現（V-reps）に拡張可能か？その際、頑健性と正確性を保持できるか？

主な発見

• 提案手法は、2次、3次、4次多項式を用いたブール結合により形成された幾何形状におけるポアソン方程式に対して、$H^1$および$L^2$ノルムで最適収束率を達成する。
• 数値実験では、切断要素のうち安定化が必要な割合が3–7%にとどまり、安定化戦略の最小性を確認する。
• 幾何的許容誤差（$ ilde{10^{-8}}$）の限界に達するまでの間、異なるパッチ重ね合わせ順序における収束挙動は区別できない。
• 本手法は、3つのパッチが重複するような複雑な構成でも頑健に機能し、穴の周囲の応力集中を正しく捉える。
• 数値結果から、$L^2$ノルムにおいて$10^{-8}$を超えると幾何誤差が支配的になると示され、現在のCAD許容誤差の限界が明らかになる。
• 本手法は平面応力状態における線形弾性問題を適切に扱い、 refined メッシュ上でのvon Mises応力および変位場の可視化に成功する。