[論文レビュー] Overlapping non Matching Meshes Domain Decomposition Method in Isogeometric Analysis

Michel Bercovier, Ilya Soloveichik|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、複雑な幾何形状上の偏微分方程式（PDE）を解くために、等稜的解析（IGA）における重複する非一致メッシュの領域分割手法（ASDDM）を提案する。この手法により、'チムレア'型ズームを介した局所的メッシュの細分化が可能となり、幾何的近似誤差を最小限に抑えつつ、大規模な3次元シミュレーションを効率的かつ並列的に実行できる。非一致な重複する部分領域にアドティブ・シュバルツ反復法を適用することで、収束が速く、トリムドパッチや非一致メッシュに対応可能であり、自然に並列化可能である。

ABSTRACT

One of the important aspects of IsoGeometric Analysis (IGA) is the strong link between Computer Aided Design and analysis. Two of IGA'a major challenge are the assembly of patches (Constructive Solid Geometry geometries made of Boolean primitives) and local refinement. In the present work we apply the Additive Schwarz Domain Decomposition on overlapping domains. To leverage the power of IGA we consider non matching meshes to solve PDEs on CSG assemblies. As a side effect also we deal with local refinement . As a first step we study a collection of simple two domains problems, using the software package GeoPDEs, all of them converged rapidly, even on very distorted domains. For local refinement we implement a Chimera type of zooming together with ASDDM iterations, and here again we get very attractive results. A last effect is that the additive methods are naturally parallelizable and thus can extend to large 3D problems. We give some examples of computations on multi-patch bodies. This new implementation of the DD methods brings many interesting problems such as: the definition of boundary conditions on trimmed patches, choice of blending operators on the intersections , optimization of the overlap size, choice of preconditioning to guarantee convergence ( as we do not have a maximum principle here.)

研究の動機と目的

• 等稜的解析において、ボリューム演算（例えば、CSG）によって構築された複雑な幾何形状上でのPDEの解法という課題に取り組む。
• Tスプラインや階層的Bスプラインの制限を克服し、グローバルなメッシュ再定義を伴わずにIGAにおける局所的細分化（ズーム）を可能にする。
• IGAの正確な幾何形状表現と高次基底関数と互換性を持つ、非一致で重複する領域分割フレームワークを開発する。
• アドティブ・シュバルツ法を用いて、大規模3次元問題におけるスケーラビリティと並列処理を確保する。
• トリムドパッチにおける境界条件の適用方法と、収束に最適な重複領域サイズの特定を調査する。

提案手法

• 非一致な重複部分領域にアドティブ・シュバルツ領域分割法（ASDDM）を適用し、重複する界面を介して部分領域の解を結合する。
• 等稜的解析におけるBスプライン基底関数を用いて、正確な幾何形状表現と解の高次近似を実現する。
• 反復的ASDDMステップの間、解のデータを重複部分領域間で移行するために、トレース作用素（正確なおよび補間に基づくもの）を用いる。
• 各部分領域を別々のプロセッサ上で独立して解き、反復の度に界面データを同期する並列化アルゴリズムを実装する。
• 標準的なPDE（例えば、ポアソン方程式）およびマルチパッチ・重複領域上での弾性問題にこの手法を適用する。
• 弱形式とガラーキン法による変分式を用い、収束が達成されるまでASDDMによる反復的解法を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等稜的解析における重複非一致メッシュ領域分割は、CSGに基づく複雑な幾何形状上でのPDEに対して、急速な収束を達成できるか？
• RQ2 グローバルなパラメトリック構造を変更せずに、IGAにおける局所的細分化（ズーム）にASDDMアプローチはどの程度効果的か？
• RQ3 重複領域のサイズとBスプラインの次数が収束速度および解の精度に与える影響は何か？
• RQ4 非一致で重複する領域において、トリムドパッチ上にディリクレ境界条件を正確に適用する方法は何か？
• RQ5 マルチコアアーキテクチャ上での並列化ASDDM実装のスケーラビリティと性能向上はどの程度か？

主な発見

• ASDDM手法は、すべてのテストされた2次元および3次元問題（極めて歪んだ領域を含む）において急速な収束を達成した。
• 「チムレア」ズームによる局所的細分化では、新たな自由度を細分化領域にのみ追加したため、グローバルなメッシュ再定義を回避できた。
• 8部分領域からなるマルチパッチ領域上での弾性問題に対して、4コアマシン上での並列化実装で4倍の高速化を達成した。
• Bスプライン次数（最大4次まで）に関わらず収束特性が安定しており、精度の著しい低下は認められなかった。
• 自由度の数は次元および多項式次数の増加に伴い急速に増加するため、大規模問題では領域分割の導入が不可欠であることが示された。
• 本手法は自然な並列化とスケーラビリティを示しており、大規模3次元問題に適していることがわかった。