[論文レビュー] Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers

Vladimir Shevelev, Gilberto García-Pulgarín+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、合成数 $n$ のすべての $1$ より大きい因子 $d$ に対して乗法的位数 $|b|_d$ が不変であることで特徴づけられる、標準的擬素数よりも強いクラスの擬素数である『$b$ を底とする過擬素数』を導入する。この論文は、すべての合成数のメルセンヌ数 $2^p - 1$ およびウィフェリヒ素数の平方が底 $2$ の過擬素数であることを証明し、特定の数論的条件下で一般化フェルマー数および一般化メルセンヌ数が底 $b$ の『素数超』であることを確立する。

ABSTRACT

We introduce a new class of pseudoprimes-so called "overpseudoprimes to base $b$", which is a subclass of strong pseudoprimes to base $b$. Denoting via $|b|_n$ the multiplicative order of $b$ modulo $n$, we show that a composite $n$ is overpseudoprime if and only if $|b|_d$ is invariant for all divisors $d>1$ of $n$. In particular, we prove that all composite Mersenne numbers $2^{p}-1$, where $p$ is prime, are overpseudoprime to base 2 and squares of Wieferich primes are overpseudoprimes to base 2. Finally, we show that some kinds of well known numbers are overpseudoprime to a base $b$.

研究の動機と目的

• 標準的擬素数よりも強い新しい擬素数クラス、すなわち『$b$ を底とする過擬素数』を定義し、その特徴を明らかにすること。
• 合成数 $n$ が底 $b$ の過擬素数であるための必要十分条件を、$n$ を $1$ より大きく割るすべての $d$ に対して $|b|_d$ が不変であることに基づいて確立すること。
• すべての合成数のメルセンヌ数 $2^p - 1$ およびウィフェリヒ素数の平方が底 $2$ の過擬素数であることを証明すること。
• 底 $b > 1$ に対してこの概念を一般化し、一般化フェルマー数や一般化メルセンヌ数などの数の族が底 $b$ の『素数超』であることを同定すること。
• 代数的整数論の道具を用いて、円分集合、乗法的位数、および素数超／過擬素数の性質との関係を調査すること。

提案手法

• 過擬素数を底 $b$ とする合成数 $n$ として定義し、$n$ を $1$ より大きく割るすべての $d$ に対して $|b|_d$ が一定であることを、$n$ を法とする $2$ の円分集合に関連付ける。
• 円分集合 $C_s$ 及びそのサイズ $|C_s| = |2|_{n / \text{gcd}(n,s)}$ の構造を用いて、底 $2$ の過擬素数に対して $n = r(n) \cdot |2|_n + 1$ という条件を導出する。
• $n$ が底 $2$ の過擬素数であることと、$n$ を $1$ より大きく割るすべての $d$ に対して $|2|_d = |2|_n$ であることが同値であることを、乗法的位数および $ ext{gcd}$ の性質を用いて証明する。
• 一般化フェルマー数や一般化メルセンヌ数の性質を特定するため、円分多項式 $\Phi_n(b)$ 及びそれらと $n$ の最大公約数を用いる。
• 素数超数を特徴付けるために、$\gcd(n, \Phi_n(b)) = 1$ または $p$（$n$ の最大素因数）であるという条件を用いる。
• 一般化フェルマー数および一般化メルセンヌ数に関する既知の結果を応用し、$\gcd(p, b-1) = 1$ または $n$ が素数であるなどの条件下で、それらが底 $b$ の素数超数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成数 $n$ が底 $b$ の過擬素数であることを特徴づける条件は何か？
• RQ2 なぜすべての合成数のメルセンヌ数 $2^p - 1$ が底 $2$ の過擬素数であるのか？
• RQ3 一般化フェルマー数 $b^{2^n} + 1$ が底 $b$ の素数超数であるための条件は何か？
• RQ4 一般化メルセンヌ数 $\frac{b^p - 1}{b - 1}$ が底 $b$ の素数超数であるのはいつか？
• RQ5 円分多項式および乗法的位数は、素数超数および過擬素数の性質とどのように関係するか？

主な発見

• 奇数の合成数 $n$ が底 $2$ の過擬素数であるための必要十分条件は、$n$ を $1$ より大きく割るすべての $d$ に対して $|2|_d = |2|_n$ が成り立つことである。
• すべての素数 $p$ に対して合成数のメルセンヌ数 $M_p = 2^p - 1$ は底 $2$ の過擬素数である。
• ウィフェリヒ素数の平方は底 $2$ の過擬素数である。
• 偶数 $b$ の一般化フェルマー数 $F_n(b) = b^{2^n} + 1$ は底 $b$ の素数超数である。
• 一般化メルセンヌ数 $M_p(b) = \frac{b^p - 1}{b - 1}$ は、$\gcd(p, b - 1) = 1$ である限り、底 $b$ の素数超数である。
• $q < p$ を素数とする $N = \Phi_{pq}(b)$ に対して、$N$ が底 $b$ の素数超数であることと $p \nmid N$ であることは同値である。そうでなければ $N/p$ は底 $b$ の素数超数である。