[論文レビュー] Oversights in the Respective Theorems of von Neumann and Bell are Homologous

Joy Christian|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、フォン・ノイマンの定理とベルの定理の両方が、隠れた変数理論における期待値の加法性の正当化されていない仮定——という同様の見落としを含んでいると主張する。非可換観測量に対してこの加法性が成り立たないことを示し、著者は非可換観測量の正しい取り扱いのもとでCHSH相関関数の上限を $± 2\sqrt{2}$ に再導出し、$± 2$ ではない。これは、ベル実験が局所的実在論を排除するのではなく、一般の隠れた変数理論では正当化されない加法性仮定を排除していることを示唆する。

ABSTRACT

We show that the respective oversights in the von Neumann's general theorem against all hidden variable theories and Bell's theorem against their local-realistic counterparts are homologous. Both theorems unjustifiably assume the additivity of expectation values within hidden variable theories to derive their respective conclusions. However, for non-commuting observables, the equivalence of a sum of expectation values and the expectation value of the sum of measurement results, although respected within quantum mechanics, need not hold for hidden variable theories, regardless of specific characteristics such as local realism they may respect. Once this oversight is ameliorated from Bell's argument and local realism is implemented correctly, the bounds on the CHSH correlator work out to be ${\\pm2\\sqrt{2}}$ instead of ${\\pm2}$, thereby mitigating the conclusion of Bell's theorem. Consequently, what is ruled out by the Bell-test experiments is not local realism but the additivity of expectation values.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマンの定理とベルの定理における、隠れた変数理論に関する共通の基礎的見落としを特定・分析すること。
• ベル実験が局所的実在論を排除すると広く受け入れられている解釈に挑戦すること。
• 期待値の加法性仮定が、実験的反証の真の標的であり、局所的実在論ではなく、一般の隠れた変数理論では有効でないことに示す。
• 非可換観測量の正しい取り扱いのもとで、CHSH相関関数の上限を再導出すること。
• 非可換性を尊重する局所的実在論的隠れた変数理論が、$± 2\sqrt{2}$ まで量子相関を再現できることを示すこと。

提案手法

• フォン・ノイマンの定理とベルの定理の数学的構造を分析し、期待値の加法性仮定に注目する。
• 非可換観測量に対して、隠れた変数理論では和の期待値が個々の期待値の和に等しくならないことを特定する。
• 非可換演算子の固有値を用いてCHSH相関関数を再構築し、和演算子の固有値が個々の固有値の線形和ではないことを示す。
• 隠れた変数モデルにおける非可換性の適切な取り扱いのもとで、CHSH相関関数の修正された上限 $± 2\sqrt{2}$ を導出する。
• 演算子代数を用いて、和演算子 $a\mathcal{R} + b\mathcal{S} + c\mathcal{T} + d\mathcal{U}$ の固有値 $\mathscr{X}$ が、すべての演算子が可換でない限り、個々の固有値に対して線形でないことを示す。
• 標準的なベル不等式の導出が失敗する理由は、$\langle \mathcal{X} \rangle = \sum a_i \langle \mathcal{O}_i \rangle$ を仮定しているためであり、これは隠れた変数モデルにおける非可換演算子に対して一般に成り立たない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマンの定理とベルの定理における、期待値の加法性に関する共通の見落としの性質は何か？
• RQ2 なぜ期待値の加法性仮定がベル型不等式において誤った上限を生じさせるのか？
• RQ3 期待値の加法性仮定を除外した場合、局所的実在論的隠れた変数理論は量子相関を再現できるか？
• RQ4 非可換性を尊重する局所的実在論的理論におけるCHSH相関関数の正しい上限は何か？
• RQ5 ベル実験が排除するのは局所的実在論か、期待値の加法性か？

主な発見

• フォン・ノイマンの定理とベルの定理の見落としは、隠れた変数理論における期待値の加法性を正当化されていない仮定として行っていることである。
• 非可換観測量に対して、隠れた変数理論でも、和の期待値が個々の期待値の和に等しくならない。
• 非可換性を適切に取り入れた局所的実在論的隠れた変数理論におけるCHSH相関関数の上限は $± 2\sqrt{2}$ であり、$± 2$ ではない。
• 標準的なベル不等式の導出は、$\langle \mathcal{X} \rangle = \sum a_i \langle \mathcal{O}_i \rangle$ を仮定しているが、これは隠れた変数モデルにおける非可換演算子に対して一般に成り立たない。
• ベル実験は局所的実在論を排除するのではなく、期待値の加法性を排除しており、これは一般の隠れた変数理論では正当化されない。
• 和演算子の固有値 $\mathscr{X}$ は、すべての演算子が可換でない限り、個々の固有値に対して線形でない。可換である場合に限り、$a\mathscr{R} + b\mathscr{S} + c\mathscr{T} + d\mathscr{U}$ の線形和に簡略化される。