[論文レビュー] Overview of Blakley's Secret Sharing Scheme

Alireza Shamsoshoara|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Blakleyの方式を用いた幾何学的秘密分散手法を提示する。秘密はt次元空間内の点として符号化され、超平面を介して共有される。秘密は素数を法とする線形方程式系を解くことで再構築され、MATLAB GUIによる実装と性能分析により、より大きな素数に対して指数関数的な時間増加が示された。

ABSTRACT

In this report, I explained the problem of Secret Sharing Scheme. Then based on the definition of the problem, two old methods: Blakley's Secret Sharing Scheme and Shamir's Secret Sharing are introduced. However, we explained the details of the first one since it's the topic of this work. Blakley's method has an application in distributing a key between different parties and reconstructing the key based on each share. However, this method is not efficient enough because of too large space states. Also, we tried to simulate a scenario for spreading a key between some users and tried to reconstruct the first key using Matlab in a graphical user interface.

研究の動機と目的

• 複数の参加者間で秘密を分散・再構築できる幾何的閾値秘密分散方式として、Blakleyの秘密分散方式を説明すること。
• 具体的な例とMATLABベースのシミュレーションを通じて、Blakley法の実現可能性と限界を示すこと。
• 特に素数モジュラスのサイズが解法時間に与える影響を含め、この方式の計算性能を分析すること。
• Blakley方式とShamir方式を比較し、空間効率の低さと広く実装されていない点を強調すること。
• 最近の応用例として、秘密画像共有や閾値RSA署名におけるBlakleyの幾何的アプローチの利用を検討すること。

提案手法

• 秘密はt次元空間内の点 (x₀, y₀, z₀) として表現され、秘密値は x₀ に相当する。
• 各参加者は、z ≡ ax + by + c mod p の形の超平面方程式を受領し、係数a, b, cはランダムに選ばれる。
• 秘密は、係数行列Cと定数ベクトルyを用いた線形方程式系 Cx ≡ y mod p を解くことで再構築される。
• 解はガロア体GF(p)における行列Cの逆行列を用いて計算され、det(C) ≠ 0 mod p である必要がある。
• MATLAB GUIを実装し、素数p、参加者数、閾値t、秘密鍵などのパラメータをユーザーが入力可能にする。
• アルゴリズムは有限体上での線形方程式系を解くためのgflineq関数を用い、性能評価のための計算時間ログを取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の参加者間で、閾値に達する数の共有情報がなければ秘密を再構築できないように、秘密をどのように分散できるか？
• RQ2 Blakleyの幾何的秘密分散方式は、Shamir方式と比較して計算効率と空間効率の面でどのようなトレードオフを示すか？
• RQ3 素数モジュラスpのサイズが、Blakley方式における線形方程式系の解法に要する時間にどのように影響するか？
• RQ4 MATLABのグラフィカルユーザーインターフェースを用いて、Blakley方式を効果的に実装・可視化できるか？
• RQ5 最近の暗号技術における実用的応用例として、秘密画像共有や閾値署名におけるBlakley法の実装はどのようなものか？

主な発見

• 3つの超平面方程式を素数73を法として解くことで、秘密鍵が正しく x₀ = 42 として再構築された。
• 空間的に非効率であり、各参加者は完全な超平面方程式を保持する必要がある。また、秘密の位置が超平面上に存在するという情報漏洩により、完全な機密性を欠く。
• シミュレーションにより、最初の100個の素数を対象にした結果、線形方程式系の解法に要する計算時間が素数モジュラスの増大に伴い指数関数的に増加することが示された。
• MATLAB GUIの実装により、パラメータのインタラクティブな設定と即時の解法計算が可能となり、性能ベンチマークが可能になった。
• 理論的には妥当であるが、非効率さのため実用的採用は限定的であり、Shamir方式のほうが広く使われている。
• 最近の応用例として、秘密画像共有や閾値RSA署名があり、Blakleyの幾何的基盤が他の技術と組み合わせられ、機能の強化に寄与している。