[論文レビュー] p-adic deformation of graph cycles

Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は代数的多様体の自己同型の $p$-進変形理論を確立し、自己同型がコホロロジー上でホッジ型作用素として作用し、かつ多様体が無限小トーリーの定理を満たすならば、その自己同型はウィット環上への形式的自己同型へ一意に上方に持ち上げられることを証明している。主な結果はクリスタリンコホロロジーを用いて古典的変形理論を $p$-進設定に一般化し、自己同型群のコホロロジー上での忠実性のための基準を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we show that the infinitesimal Torelli theorem implies the existence of deformations of automorphisms. In the first part, we use Hodge theory and deformation theory to study the deformations of automorphisms of complex projective manifolds. In the second part, we use crystalline cohomology to explore the p-adic analogues of the first part, which generalizes a result of Berthelot and Ogus. The study of the deformations of automorphisms also provides criterions characterizing when the action of the automorphism group of a variety on its cohomology is faithful.

研究の動機と目的

• 複素数上の自己同型の古典的変形理論を、クリスタリンコホロロジーを用いて $p$-進設定へ拡張すること。
• 自己同型のコホロロジー上での作用に基づき、$W(k)$ 上での上方化の基準を確立すること。
• ベルトロ・オーグスの $p$-進変形に関する結果を、多様体の自己同型へ一般化すること。
• $\ell$-進およびクリスタリンコホロロジー上での自己同型群作用の忠実性のためのコホロロジー的基準を提供すること。
• コホロロジー上でのホッジフィルトレーションの保存が、自己同型のグローバル $p$-進変形の存在とどのように関係するかを結びつけること。

提案手法

• 複素数の場合の de Rham コホロロジーに代えて、$p$-進変形を研究するためのクリスタリンコホロロジーの使用。
• ホッジフィルトレーションと de Rham およびクリスタリンコホロロジーの比較同型を用いた障害写像の構成。
• グロテンディークの存在定理を用いて、$\widehat{X}$ 上の形式的自己同型を $W(k)$ 上の代数的自己同型へ上方化すること。
• 写像 $\rho(g_n)_q$ が $\mathrm{H}^1(X_0, g_0^*T_{X_0/k}) \otimes_k (\pi^{n+1})$ 内の障害類の成分として特定されること。
• 写像 $\widehat{\Psi}_n$ の単射性を用いて、ホッジフィルトレーションが保存されるとき障害が消えることを導出すること。
• ホッジフィルトレーションを保存する $\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$ の性質を活用し、$\rho(g_n)_q = 0$ すなわち $ob(g_n) = 0$ を結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の完全体 $k$ 上の多様体の自己同型は、どのような条件下でウィット環 $W(k)$ 上の自己同型に上方化可能か？
• RQ2 クリスタリンコホロロジー上でのホッジフィルトレーションの保存は、自己同型の $p$-進変形の存在とどのように関係するか？
• RQ3 無限小トーリーの定理を用いて、$p$-進設定における自己同型の変形を保証できるか？
• RQ4 どのコホロロジー的基準が、自己同型群の $\ell$-進またはクリスタリンコホロロジー上での作用の忠実性を保証するか？
• RQ5 自己同型の位数の有限性は、$p$-進上方化およびコホロロジー的自明性とどのように相互作用するか？

主な発見

• 正の特性の完全体 $k$ 上の多様体 $X_0$ の自己同型 $g_0$ は、$\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$ がホッジフィルトレーションを保存し、かつ $X_0$ が次数 $m$ の無限小トーリーの定理を満たすならば、$W(k)$ 上の自己同型に上方化可能である。
• $g_n$ を $W_{n+1}$ を法として上方化するための障害は、コホロロジー上での誘導写像がホッジフィルトレーションを保存するときに限り消えることが示され、$\rho(g_n)_q$ の消えることによって裏付けられる。
• 形式的多様体 $\widehat{X}$ 上の形式的自己同型 $\lim_{\leftarrow} g_n$ は、グロテンディークの存在定理により、$W(k)$ 上の一意的な代数的自己同型から導かれる。
• もし $l \neq \mathrm{char}(k)$ に対して $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(g_0, \mathbb{Q}_l) = \mathrm{Id}$ ならば、$g_0$ は $W(k)$ 上の自己同型に上方化可能であり、特に $g_0$ が有限位数をもつときが該当する。
• $\mathrm{Aut}(X_0)$ の $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_0, \mathbb{Q}_l)$ 上での作用の忠実性は、一般化されたファイバー $X_K$ における $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_K, \mathbb{Q}_l)$ 上での作用の忠実性と、上方化条件を組み合わせることで示される。
• 本結果は、ベルトロとオーグスの $p$-進変形に関する研究を、サイクルから自己同型へ拡張することで一般化しており、上方化の基準としてホッジ型条件を用いている。