[論文レビュー] $p$-adic discrete dynamical systems and their applications in physics and cognitive sciences

Andrei Khrennikov|ArXiv.org|Feb 23, 2004

advanced mathematical theories参考文献 71被引用数 26

ひとこと要約

本稿はp進整数論的離散力学系を調査し、p進体上の写像の反復とそのエルゴード的性質、サイクル、ホロモーフィック力学に焦点を当てる。p ≡ 1 mod 4 である素数pに対して、f(x) = x² + x は長さ2の曇ったサイクルを示し、その一部は吸引子またはシーゲル円板として作用する。さらに、高次のp進精度においてネストされた部分サイクルの存在を示し、非アーベル的設定における複雑な力学的構造を明らかにする。

ABSTRACT

This review is devoted to dynamical systems in fields of $p$-adic numbers: origin of $p$-adic dynamics in $p$-adic theoretical physics (string theory, quantum mechanics and field theory, spin glasses), continuous dynamical systems and discrete dynamical systems. The main attention is paid to discrete dynamical systems - iterations of maps in the field of $p$-adic numbers (or their algebraic extensions): conjugate maps, ergodicity, random dynamical systems, behaviour of cycles, holomorphic dynamics. dynamical systems in finite fields. We also discuss applications of $p$-adic discrete dynamical systems to cognitive sciences and psychology.

研究の動機と目的

• p進体上の離散写像の力学的挙動を調査し、特にエルゴード性、サイクル構造、ホロモーフィック性に焦点を当てる。
• p進力学系における有限精度計算に起因する曇ったサイクルの出現を探索する。
• p進力学系と理論物理学および認知科学への応用との間の関係を確立する。
• 高次のp進精度におけるサイクルの構造的複雑性、特にネストされた部分サイクルを分析する。

提案手法

• p進数体Qpおよびその代数的拡張を用いて、写像f: Qp → Qpの反復によって力学系を定義する。
• p進絶対値および非アーベル的位相の概念を用いて、連続性、微分可能性、収束性を定義するp進解析を適用する。
• 有限p進精度を用いた数値計算により、「曇ったサイクル」（計算制限に起因する近似周期軌道）を同定する。
• 吸引子やシーゲル円板といった古典的力学的概念を、曇ったサイクル構造を用いてp進設定に一般化する。
• 数論的条件（例：p ≡ 1 mod 4）を用いて、サイクルの存在およびタイプに関する一般定理を導出する。
• 記号計算および再帰的反復を用いて、複数の素数p < 100においてさまざまな長さのサイクルを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限精度計算下でのp進離散力学系において、どのような周期的挙動が出現するか？
• RQ2 p進力学系における曇ったサイクルは、古典的概念（吸引子やシーゲル円板）とどのように関係するか？
• RQ3 数論的条件（例：p ≡ 1 mod 4）が満たされる下で、f(x) = x² + x のような写像において特定のサイクル長（例：2）が存在する条件は何か？
• RQ4 高次のp進精度において、長さが増加するネストされた部分サイクルを体系的に同定できるか？
• RQ5 p進力学系は、認知プロセスおよび物理系のモデル化において果たす役割は何か？

主な発見

• 素数p ≡ 1 mod 4 に対して、写像f(x) = x² + x は長さ2の曇ったサイクルを示し、その一部は循環的吸引子（例：p = 5）として、他の一部はシーゲル円板として作用する。
• 長さ3の曇ったサイクルはp = 11, 41, 43, 59, 67, 89（2回）、97で確認され、p = 89では1つの吸引子と残りはシーゲル円板として分類された。
• 長さ4のサイクルはp = 19, 43, 47, 71で検出され、すべてシーゲル円板として分類された。
• p = 89では、長さ2, 3, 5, 6の複数の曇ったサイクルが共存しており、複雑な階層的構造が示唆された。
• p = 11では、長さ3のサイクルU_{1/11}(2)–U_{1/11}(6)–U_{1/11}(9)が長さ15の部分サイクルを含み、さらにその中には長さ104の部分サイクルが含まれていた。
• サイクルU_{1/13}(4)–U_{1/13}(7)は長さ8の部分サイクルを含み、その内部にさらに長さ104の部分サイクルを含んでおり、力学的構造の再帰的ネストが示された。