[論文レビュー] p-Adic distribution of CM points and Hecke orbits. II: Linnik equidistribution on the supersingular locus

Sebastián Herrero, Ricardo Menares+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

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ひとこと要約

この論文は、複素数体 ℂ_p 上の楕円曲線の CM 点に関する Linnik の等分布定理の p進類似を確立し、特定の条件下で、特異的局所（supersingular locus）における CM 点が p進球面上に一様に分布することを示している。変形理論とモジュラー形式のフーリエ係数に関する境界を用いて、p進判別式ノルムが有界な CM 点のすべての蓄積測度を同定し、複素数の場合とは異なり、p進的設定における対称性の破れにより、無限に多くのこのような測度が存在することが明らかになった。

ABSTRACT

For a prime number $p$, we study the asymptotic distribution of CM points on the moduli space of elliptic curves over $\mathbb{C}_p$. In stark contrast to the complex case, in the $p$-adic setting there are infinitely many different measures describing the asymptotic distribution of CM points. In this paper we identify all of these measures. A key insight is to translate this problem into a $p$-adic version of Linnik's classical problem on the asymptotic distribution of integer points on spheres. To do this translation, we use the close relationship between the deformation theories of elliptic curves and formal modules and then apply results of Gross and Hopkins. We solve this $p$-adic Linnik problem using a deviation estimate extracted from the bounds for the Fourier coefficients of cuspidal modular forms of Deligne, Iwaniec and Duke. We also identify all accumulation measures of an arbitrary Hecke orbit.

研究の動機と目的

• 複素数体 ℂ_p 上の楕円曲線のモジュライ空間における CM 点の漸近的分布、特に特異的局所における分布を記述すること。
• p進判別式ノルムが 0 から離れている CM 点列のすべての蓄積測度を同定すること。
• 整数点が球面上に分布する Linnik の古典的等分布問題の p進的類似を確立すること。
• 等分布結果を Hecke 軌道へと拡張し、例えば S-単数である特異的モジュラーが有限個であるといった算術的問題に応用すること。
• 固定された p進的二次拡大体における基本的判別式のケースを解決し、特に、genus理論的対称性の破れにより、2つの蓄積測度が生じ得ることを特定すること。

提案手法

• 楕円曲線および形式的加群の変形理論を用いて、CM 点を p進球面上の整数点に関連づけることで、p進的分布問題を p進的 Linnik 問題に翻訳すること。
• Gross-Hopkins 理論を用いて、CM 点を p進四元数代数の3次元部分空間に埋め込み、p進球面上の格子点としてモデル化すること。
• Deligne, Iwaniec, Duke が得た余定形式のフーリエ係数に関する境界から導かれるずれ推定値を用いて、等分布誤差項を制御すること。
• p進判別式およびそれに関連する二次拡大体の分類を通じて、CM 点のすべての蓄積測度を特徴づけること。
• 同じ解析的道具を用いて、p進的 Linnik 問題に還元することで、部分 Hecke 軌道における等分布を証明すること。
• genus理論を用いて、p が唯一の素因数である基本的判別式の場合に生じる、2つの蓄積測度を有する例外的ケースを説明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進ノルムが正の定数より大きい条件下で、複素数体 ℂ_p 上の楕円曲線のモジュライ空間の特異的局所における CM 点の蓄積測度は何か？
• RQ2 p進的分布は、等分布が既知である複素数の場合とどのように異なるか？
• RQ3 整数点が球面上に分布する Linnik の等分布定理の p進的類似とは何か？ そして、それが CM 点にどのように応用できるか？
• RQ4 固定された p進的二次拡大体において、基本的判別式が固定され、導手が変化する場合に、なぜ2つの異なる蓄積測度が生じるのか？
• RQ5 p進的設定における CM 点の等分布結果を、Hecke 軌道へとどのように拡張できるか？

主な発見

• 複素数の場合とは異なり、ℂ_p 上の CM 点確率測度列に対して、無限に多くの異なる蓄積測度が存在する。
• 固定された p進的二次拡大体に属し、p進ノルムが有界な CM 点列に対しては、2つの蓄積測度を除き、測度は特異的局所上の一様測度に収束する。
• 2つの蓄積測度を有する例外的ケースは、基本的判別式が p のみを素因数として持つときに正確に発生し、このとき genus理論が対称性の破れを引き起こす。
• 余定形式のフーリエ係数に関する境界（Deligne, Iwaniec, Duke が開発）から得られるずれ推定値を用いて、p進的 Linnik 等分布定理を確立した。
• 任意の Hecke 軌道のすべての蓄積測度を同定し、同じ p進球面モデルを用いて、Hecke 軌道設定への等分布の拡張を達成した。
• 結果を応用して、任意の有限素数集合 S に対して、S-単数である特異的モジュラーは有限個であることを証明し、Habegger の結果を一般化した。