[論文レビュー] $p$-adic families of diagonal cycles

Henri Darmon, Víctor Rotger|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モジュラー曲線塔の三重積上の対角サイクルから、三変数のコホモロジー類の族を構成し、Perrin-RiouのΛ-adicレギュレーターを介して三重積p進L関数をこれらの類の像として実現する相互法則を証明する。この構成は一般化されたKato類を補間し、Hida族およびp進L関数に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

This note provides the construction of a three-variable family of cohomology classes arising from diagonal cycles on a triple product of towers of modular curves, and proves a reciprocity law relating it to the three variable triple-product $p$-adic $L$-function associated to a triple of Hida families by means of Perrin-Riou's $Λ$-adic regulator.

研究の動機と目的

• モジュラー曲線塔の三重積上の対角サイクルから生じる三変数のコホモロジー類の族を構成すること。
• 三つのHida族に関連する三重積p進L関数とこれらのコホモロジー類を結ぶ相互法則を確立すること。
• パラメータ空間を三元に拡張することで、一変数族の構成を一般化し、ねじれ対角埋め込みを用いること。
• この族の高重量および結晶的特殊化が、[DR14]で定義された一般化されたKato類を補間することを示すこと。
• Perrin-RiouのΛ-adicレギュレーターを用いて、三重積p進L関数のコホモロジー的解釈を提供すること。

提案手法

• X_r = X_1(Mp^r) とおくとき、$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-軌道としての原始的行三つ組の集合にパrameter化された、$\mathbb{X}(p^r)$ のねじれ対角埋め込みを用いて、$X_r^3$ 上のサイクル族を構成する。
• これらのサイクルを介して、Galoisコホモロジー類の整合的系を定義し、三つの重み空間の直積上にグローバルな$\Lambda$-adicコホモロジー類にまとめる。
• パラメータ空間上の$\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$ の作用を用いて、サイクル構成をHida族およびp進モジュラー形式と関連付ける。
• Perrin-Riouの$\Lambda$-adicレギュレーターを適用し、$\Lambda$-adicコホモロジー類を三重積p進L関数へ写像する。
• 高重量および結晶的点での特殊化を解析し、[DR14]の一般化されたKato類と整合することを示す。
• Dieudonné加群および$\Lambda$-adicガロア表現の理論を用いて、コホモロジー的データのp進補間を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重積モジュラー曲線上の対角サイクルから三変数のコホモロジー類の族を構成できるか？
• RQ2 これらのコホモロジー類は、高重量および結晶的設定において既知の類（一般化されたKato類）にどのように特殊化されるか？
• RQ3 Perrin-RiouのΛ-adicレギュレーターを介して、この族と三重積p進L関数を結ぶ明確な相互法則が存在するか？
• RQ4 [DR17]で先行して提示された一変数構成はなぜ、完全な二次元パラメータ空間を捉えられておらず、この新しい構成はどのようにしてその限界を解消するか？
• RQ5 対角サイクルは、三重積設定における既存のΛ-adicコホモロジー類の構成に対して、補完的視点を提供するか、その程度はいかほどか？

主な発見

• 本稿は、$X_r^3$ 上の対角サイクルから、$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-軌道としての原始的行三つ組の空間にパラメータ化された三変数のコホモロジー類の族を構成した。
• このコホモロジー類の族は、高重量および結晶的特殊化において、[DR14]で定義された一般化されたKato類を補間することが示された。
• 相互法則が確立され、三重積p進L関数がPerrin-Riouのレギュレーターを介して$\Lambda$-adicコホモロジー類の像として得られることを証明した。
• 従来の研究の次元的制限を解消し、二重のパラメータ空間を実現することで、[DR17]における一重の制限を是正した。
• Λ-advicレギュレーターをコホモロジー類に適用した結果、Euler因子および正規化項を含む因子を除き、p進L関数が得られることを示し、相互法則を検証した。
• この結果は、三重積p進L関数のコホモロジー的実現を提供し、Euler系およびStark-Heegner点の枠組みを高ランク設定へ拡張した。