[論文レビュー] p-adic families of Galois representations and higher rank Selmer groups

Joël Bellaïche, Gaëtan Chenevier|ArXiv.org|Feb 15, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、$p$-進固有多様体の点における接空間の次元と、随伴ガロア表現のセレマー群の次元との間の数的関係を確立し、$p$-進表現族を通じて高ランクセレマー群を研究する枠組みを提供する。主な結果は、固有多様体の幾何と算術的不変量との関係を、特に定符号ユニタリ群と自動形式の文脈で結びつける。

ABSTRACT

This is the final version of a book about p-adic families of Galois representations, Selmer groups, eigenvarieties and Arthur's conjectures

研究の動機と目的

• $p$-進表現族を用いて、セレマー群に2つ以上の線形独立な元が存在する条件を理解すること。
• 固有多様体の点における接空間次元と、随伴表現のセレマー群次元との間の数的関係を確立すること。
• 特に、精練クリスタリン表現および定符号ユニタリ群上の自動形式の文脈において、高ランクセレマー群を調査すること。
• 符号予想を証明し、特に$ U(m) $およびアーチャー包の文脈で、自動形式の局所的ルート数を計算すること。
• 固有多様体の構造とそれに関連するガロア表現に関する、条件付きおよび無条件の結果を提示すること、特に$ U(3) $および高ランクユニタリ群において。

提案手法

• $p$-進ホッジ理論および$(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて、精練クリスタリン表現の三角的変形を研究する。
• 吹き上げによる形式的降下結果を応用し、キシンの定理（クリスタリン周期の一般化）を非平坦加群へ拡張する。
• 精錬$ p $-進表現族の剛体解析的族を構成し、弱精錬族におけるクリスタリン周期の存在を証明する。
• 擬スカラー関数および一般化された行列代数の理論を用いて、局所環上の可約性の軌跡とExt群を分析する。
• 局所Langlands対応およびアーチャーの多重度公式を用いて、$ U(m) $の表現の$L$-パラメータと局所的ルート数を計算する。
• アーチャーのアルゴリズムを適用し、特に擬分裂$L^*$とコンパクト内包形を用いて、レヴィ部分群を通じた$L$-パラメータと局所ペアリングを計算し、$\varepsilon$因子を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$p$-進表現族がセレマー群に2つ以上の独立な元を検出できるか？
• RQ2 固有多様体の点における接空間次元は、その点で固有多様体が観測するセレマー群の部分の次元とどのように関係するか？
• RQ3 三角的および精錬クリスタリン変形は、高ランクセレマー群を構成するために果たす役割は何か？
• RQ4 局所的ルート数と$L$-パラメータは、$U(m)$の離散スペクトルにおける自動形式の多重度をどのように決定するか？
• RQ5 アーチャーの点における固有多様体の構造は何か？そして、それは高ランクセレマー群の幾何をどのように反映するか？

主な発見

• 本稿は、固有多様体の点における接空間次元と、$\mathrm{ad}\rho_x$のセレマー群の部分の次元との間の数的関係を確立した。
• ユニタリ群$U(m)$上の表現$\pi^n$について、アーチャー多重度公式により、$\varepsilon(\pi,1/2) = -1$のとき$ m(\pi^n) = 1 $、それ以外の場合は$ 0 $であることが示された。
• コンパクトレヴィ部分群に関連する表現$\pi_s$の局所的ルート数$\varepsilon(\pi_s, 1/2)$は$-1$に計算され、符号予想が確認された。
• $\pi_s$の$L$-パラメータ$\phi_s$は$\phi_{\psi_\infty}$に等しく、根$\beta$および要素$ s_\psi = \mathrm{diag}(1,\dots,1,-1,-1) $を用いて、ペアリング$\langle s_\psi, \pi_w \rangle_{L^*}$は$-1$に計算された。
• イデムポテン型固有多様体の構成とそれに関連するガロア表現を用いることで、グローバルな精錬変形函手および不可約性の研究が可能になった。
• 結果は$U(3)$に対して無条件に成立し、$m \geq 4$の$U(m)$に対しては、ユニタリ群上の自動形式に付随するガロア表現の存在に依存する条件付きである。