[論文レビュー] P-adic heights and p-adic Hodge theory

Denis Benois|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(\varphi,\Gamma)$-加群とセレマー複体を用いて、$\mathbf{Q}_p$ 上のアフィノイド代数に係数をもつ $p$-進表現に対して $p$-進高さ対応を構成し、普遍ノルムと、潜在的に半単純な表現に対するネコヴァーアールの $p$-進高さ対応と関連付ける。主な貢献は、適切な条件下で新しい対応がネコヴァーアールのものと一致することを示す比較定理であり、非アーチメデス的局所体への理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

Using the theory of $(ϕ,Γ)$-modules and the formalism of Selmer complexes we construct the p-adic height for p-adic representations with coefficients in an affinoid algebra over $Q_p$.

研究の動機と目的

• 係数が $\mathbf{Q}_p$ 上のアフィノイド代数にある $p$-進表現へ $p$-進高さ対応を一般化すること。
• アイワサ・理論と $(\varphi,\Gamma)$-加群の文脈において、構成された対応と普遍ノルムとの関係を明らかにすること。
• 新しい $p$-進高さ対応が、潜在的に半単純な表現に対してネコヴァーアールの古典的構成とどのように比較できるかを検討すること。
• 導来圏におけるボクシュタイン写像とカップ積を用いて、新しい対応とネコヴァーアールの高さ対応との間の同型写像を確立すること。
• スプリット部分加群とフィルトレーションを用いて、拡張されたセレマー群とアイワサ・コホモロジーへの $p$-進高さ理論の拡張を達成すること。

提案手法

• アフィノイド代数上の $(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて定義される局所条件と関連するセレマー複体の形式的枠組みを用いる。
• 導来圏におけるカップ積とボクシュタイン写像 $\beta_{T,M}$ の合成として $p$-進高さ対応を構成する。
• $(\varphi,\Gamma)$-加群の理論を応用し、コホモロジー群とアイワサ・コホモロジー、およびセレマー群の拡張を関連付ける。
• 局所拡張の解析と普遍ノルムとの比較のため、スプリット部分加群と関連するフィルトレーションを導入する。
• ボクシュタイン写像と転置同型を用いてコホモロジー類を関連付け、カップ積を介して対応を構成する。
• アイワサ・コホモロジー複体 $H^1_{\mathrm{Iw}}(\mathbf{D})$ と射影 $\mathrm{pr}_{\mathbf{D},y}$ を用いて、グローバルおよびローカルな類を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が $\mathbf{Q}_p$ 上のアフィノイド代数にある $p$-進表現に対して、$p$-進高さ対応をどのように一般化できるか。
• RQ2 新しい $p$-進高さ対応とアイワサ・理論における普遍ノルム構成との関係は何か。
• RQ3 新しい対応は、潜在的に半単純な表現に対してネコヴァーアールの $p$-進高さ対応とどのように比較できるか。
• RQ4 スプリット部分加群とフィルトレーションを用いて、対応を拡張されたセレマー群へ拡張できるか。
• RQ5 $(\varphi,\Gamma)$-加群とボクシュタイン写像は、これらの対応の構成と比較にどのように寄与するか。

主な発見

• 構成された $p$-進高さ対応 $h^{\mathrm{sel}}_{V,D}$ は、$\left<\rho_{\mathbf{D},f}([x_{p}^{+}]), \rho_{\mathbf{D}^\perp,f}([y_{p}^{+}])\right>_{\mathbf{D},f}$ を含む補正項を除いて、ネコヴァーアールの対応と一致する。
• 対応 $h^{\mathrm{sel}}_{V,D}$ が $h^{\mathrm{norm}}_{V,D}$ に等しいこと、およびクラス $[x_{p}^{+}]$ の $\rho_{\mathbf{D},f}$ による像に起因する補正項が存在することが示された。
• この構成はアイワサ・コホモロジー複体と整合的であり、クラス $[x_{p,y}^{\mathrm{Iw}}]$ は $a^{\mathrm{Iw}}$ および $b^{\mathrm{Iw}}$ との必要な射影および整合性条件を満たす。
• クラス $[x_{p,y}^{\mathrm{Iw}}]$ の $\mathrm{pr}_{\mathbf{D},y}$ による像は、$s_{y,p}(a) + b$ に属し、ここで $b \in \ker(\ell_{\mathbf{Q}_p})$ である。
• 不変量 $\mathrm{inv}_p(g_{p,y}(\widehat{b}_p) \cup f_p^\perp(\widehat{y}) + g_p(b_p) \cup \mu_p)$ は $\ell_{\mathbf{Q}_p}(u_p) - \ell_{\mathbf{Q}_p}(t_p \cup g_p(y_p^+))$ に等しく、これは対応の公式と一致する。
• 最終的な比較定理により、$h^{\mathrm{sel}}_{V,D}([x_f],[y_f]) = h^{\mathrm{norm}}_{V,D}([x],[y]) + \left<\rho_{\mathbf{D},f}([x_{p}^{+}]), \rho_{\mathbf{D}^\perp,f}([y_{p}^{+}])\right>_{\mathbf{D},f}$ が確認された。