[論文レビュー] p-adic L-functions for non-critical adjoint L-values

Pak Hin Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、p進測度値をとるコホモロジーとΛ-adicモジュラー記号を用いて、虚二次体上のHida族のモジュラー形式について、非臨界特別値L(1, ad(f) ⊗ α)を補間するp進L関数を構成する。主な貢献は、Hidaの積分表現を変化する重みにわたって体系的に補間するためのΛ-adic評価写像を、コホモロジー類に適用することにあり、重みの変化に伴う補間が達成される。

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field, with associated quadratic character α. We construct an analytic p-adic L-function interpolating the special values L(1, ad(f) ⊗ α) as f varies in a Hida family; these values are non-critical in the sense of Deligne. Our approach is based on Greenberg--Stevens' idea of Λ-adic modular symbols. By considering cohomology with values in a space of p-adic measures, we construct a Λ-adic evaluation map that interpolates Hida's integral expression as the weight varies. The p-adic L-function is obtained by applying this map to a cohomology class corresponding to the given Hida family.

研究の動機と目的

• Hida族における非臨界特別値のp進L関数の理論を、アドジョイントL関数の非臨界特別値へと拡張すること。
• 虚二次体の文脈において、非臨界値の補間手法の欠如を解消すること。
• Greenberg–StevensのΛ-advモジュラー記号のアプローチを、p進測度値をとるコホモロジーへと一般化すること。
• 重みがHida族内で変化する際、L(1, ad(f) ⊗ α)を補間するp進L関数を構成すること。
• 変化する重みにわたるこれらの特別値のHidaの積分表現のコホモロジー的実現を提供すること。

提案手法

• Greenberg–StevensのΛ-advモジュラー記号の枠組みを用いてp進L関数を構成する。
• 非臨界性を扱うために、p進測度の空間を係数にとるコホモロジーを用いる。
• 重みがHida族内で変化する際、Hidaの積分表現を補間するΛ-adv評価写像を定義する。
• 与えられたHida族に関連するコホモロジー類に評価写像を適用し、p進L関数を導出する。
• 重み間の補間を保証するため、虚二次体上のHida族の構造に依存する。
• 評価写像を通じて、コホモロジー類の特徴的要素としてp進L関数を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、虚二次体上のHida族に対して、非臨界特別値L(1, ad(f) ⊗ α)を補間するp進L関数を構成できるか？
• RQ2 変化する重みにわたるHida族におけるHidaの積分表現の補間を可能にする、どのようなコホモロジー的枠組みが存在するか？
• RQ3 非臨界L値を扱うために、Λ-advモジュラー記号をp進測度値をとるコホモロジーへと拡張できるか？
• RQ4 評価写像は、重みが変化する文脈において、Hidaの積分表現をどのように補間するか？
• RQ5 コホモロジー類は、評価写像を通じてp進L関数を実現する際に、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 論文は、Hida族全体にわたって非臨界特別値L(1, ad(f) ⊗ α)を補間するp進L関数を成功裏に構成した。
• 補間は、p進測度値をとるコホモロジー上のΛ-adv評価写像によって達成された。
• 非臨界L値を扱うためにp進測度を組み込むことで、Greenberg–Stevensのアプローチを一般化した。
• 評価写像を通じて、Hidaの積分表現が重みの変化に応じた族として実現された。
• p進L関数は、コホモロジー類のΛ-adv評価写像による像として得られた。
• この枠組みは、非臨界アドジョイントL値の補間プロセスのコホモロジー的解釈を提供する。