[論文レビュー] $p$-Adic multidimensional wavelets and their application to $p$-adic pseudo-differential operators

Andrei Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich|ArXiv.org|Dec 15, 2006

advanced mathematical theories参考文献 26被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、1次元p進ウェーブレットであるKozyrevのものに一般化されるn次元p進コンパクトに台を持つウェーブレットの新クラスを導入する。これらのウェーブレットは$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $において正規直交基底をなし、タイブレソンの分数階微分作用素および他のp進擬微分作用素の固有関数である。これにより、p進解析における線形および半線形方程式を解く強力な道具が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study some problems related with the theory of multidimensional $p$-adic wavelets in connection with the theory of multidimensional $p$-adic pseudo-differential operators (in the $p$-adic Lizorkin space). We introduce a new class of $n$-dimensional $p$-adic compactly supported wavelets. In one-dimensional case this class includes the Kozyrev $p$-adic wavelets. These wavelets (and their Fourier transforms) form an orthonormal complete basis in ${\cL}^2(\bQ_p^n)$. A criterion for a multidimensional $p$-adic wavelet to be an eigenfunction for a pseudo-differential operator is derived. We prove that these wavelets are eigenfunctions of the Taibleson fractional operator. Since many $p$-adic models use pseudo-differential operators (fractional operator), these results can be intensively used in applications. Moreover, $p$-adic wavelets are used to construct solutions of linear and {\it semi-linear} pseudo-differential equations.

研究の動機と目的

• Kozyrevの1次元p進ウェーブレットを高次元に拡張し、n次元p進コンパクトに台を持つウェーブレットの新クラスを構成すること。
• これらのウェーブレットが$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $において正規直交完全基底をなすことの確立。
• このようなウェーブレットがp進擬微分作用素の固有関数であるための条件を導出すること。
• タイブレソンの分数階微分作用素が、p進モデルにおける重要な作用素であることに鑑み、これらのウェーブレットがその固有関数であることを証明すること。
• ウェーブレットフレームワークを用いて、線形および半線形p進擬微分方程式の解を構成すること。

提案手法

• 著者らは、1次元Kozyrevウェーブレットの積としてn次元p進ウェーブレット$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) $を定義し、コンパクトな台と直交性を保証する。
• $ \mathbb{Q}_p^n $上のフーリエ変換を用い、公式$ F[\chi_p(x_k s_k)\Omega(|x_k|_p)](\xi) = \Omega(|\xi_k + s_k|_p) $を適用して、ウェーブレットおよび記号の振る舞いを分析する。
• ウェーブレットのフーリエ変換は$ F[\Theta_{\gamma sa}^{(m)}](\xi) = p^{n\gamma/2} \chi_p(p^{-\gamma}a \cdot \xi) \Omega(|s + p^{-\gamma}\xi|_p) $により計算され、ウェーブレットと周波数領域表現との関連が得られる。
• 固有関数性のための条件は次のように導出される：記号$ \mathcal{A}(\xi) $をもつ擬微分作用素$ A $が$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $を固有関数として持つための必要十分条件は、$ \mathcal{A}(-p^\gamma s) = \lambda $を満たすことであり、ここで$ \lambda $は固有値である。
• 逆フーリエ変換において変数変換$ \xi = p^\gamma(\eta - s) $を適用し、固有値方程式を導出する。
• 理論はタイブレソン作用素$ D^\beta_x $に適用され、その記号$ |\xi|_p^\beta $は固有関数条件を満たし、$ D^\beta_x \Theta_{\gamma sa}^{(m)} = p^{\beta(\max\{m_k\} - \gamma)} \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元Kozyrevウェーブレットに一般化されるn次元p進コンパクトに台を持つウェーブレットの新クラスを構成可能か？
• RQ2 これらのウェーブレットは$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $において正規直交完全基底をなすか？
• RQ3 p進擬微分作用素がこのようなウェーブレットを固有関数として持つための条件は何か？
• RQ4 タイブレソンの分数階微分作用素は、これらのウェーブレットが固有関数であるような作用素のクラスに属するか？
• RQ5 これらのウェーブレットを用いて、線形および半線形p進擬微分方程式の解を構成可能か？

主な発見

• n次元p進ウェーブレット$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) $は$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $において正規直交完全基底をなし、Kozyrevの1次元ウェーブレットを一般化する。
• 記号$ \mathcal{A}(\xi) $をもつ擬微分作用素$ A $が$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $を固有関数として持つための必要十分条件は、$ \mathcal{A}(-p^\gamma s) = \lambda $を満たすことであり、ここで$ \lambda $は固有値である。
• 記号$ |\xi|_p^\beta $をもつタイブレソンの分数階微分作用素$ D^\beta_x $は、$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $にスカラー倍として作用し、$ D^\beta_x \Theta_{\gamma sa}^{(m)} = p^{\beta(\max\{m_1,\dots,m_n\} - \gamma)} \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $が得られる。
• 固有値はスケーリングパラメータ$ \gamma $、次元$ n $、および$ m_k $の最大値に依存し、ウェーブレットの自己相似構造を反映している。
• $ \int_{\mathbb{Q}_p^n} \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) \, dx = 0 $を満たすため、p進Lizorkin空間$ \Phi(\mathbb{Q}_p^n) $に属し、これは分数階作用素に関して不変である。
• このフレームワークにより、ウェーブレット基底を用いて線形および半線形p進擬微分方程式の解を構成可能である。