[論文レビュー] p-adic multiple zeta values I -- p-adic multiple polylogarithms and the p-adic KZ equation

Hidekazu Furusho|ArXiv.org|Apr 7, 2003

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ひとこと要約

この論文は、コールマンのp進反復積分理論を用いて、p進多重リーマンゼータ値（pMZVs）の基礎を確立する。p進多重多項ログラムを単位円板の外へ解析接続することで定義し、p進KZ方程式とドリンフェルト連結因子を導入。pMZVsは、z=1におけるこれらの関数の極限として得られ、分岐の選択に依存しない。主な貢献は、pMZVsの分岐に依存しない明示的定義と、p進KZ方程式による関数的関係の確立である。

ABSTRACT

Our main aim in this paper is to give a foundation of the theory of $p$-adic multiple zeta values. We introduce (one variable) $p$-adic multiple polylogarithms by Coleman's $p$-adic iterated integration theory. We define $p$-adic multiple zeta values to be special values of $p$-adic multiple polylogarithms. We consider the (formal) $p$-adic KZ equation and introduce the $p$-adic Drinfel'd associator by using certain two fundamental solutions of the $p$-adic KZ equation. We show that our $p$-adic multiple polylogarithms appear as coefficients of a certain fundamental solution of the $p$-adic KZ equation and our $p$-adic multiple zeta values appear as coefficients of the $p$-adic Drinfel'd associator. We show various properties of $p$-adic multiple zeta values, which are sometimes analogous to the complex case and are sometimes peculiar to the $p$-adic case, via the $p$-adic KZ equation.

研究の動機と目的

• p進多重ゼータ値（pMZVs）の厳密な基礎を提供すること。これはℚₚにおいて直接的な級数定義を欠いている。
• コールマンのp進反復積分理論を用いて、|z|_p < 1 から超えるp進多重多項ログラムをℂₚ \ {1} へ拡張すること。
• z=1における解析接続されたp進多項ログラムの極限としてpMZVsを定義することにより、ℂₚにおける互いに分離された円板の位相的障害を解消すること。
• p進KZ方程式とp進ドリンフェルト連結因子を、pMZVsを研究する中心的ツールとして確立すること。
• pMZVsがp進KZフレームワークを用いてシャッフル積関係およびその他の関数方程式を満たすことを証明すること。

提案手法

• コールマンのp進反復積分を用いて、p進多重多項ログラムを|z|_p < 1 からℂₚ \ {1} へ解析接続する。
• p進設定における0および1に正則な特異点を持つ微分方程式として、p進KZ方程式を導入する。
• p進KZ方程式の2つの基本解G₀^aとG₁^aを、a ∈ ℂₚ でパrameter化して構成する。
• p進ドリンフェルト連結因子をΦ_KZ^p = G₁^a(z)^{-1} G₀^a(z) として定義し、これがあるリー代数の指数関数的包あらわしに属することを示す。
• p進微分ガロア理論を適用して、連結因子が群的であり、五角形方程式を満たすことを示す。
• コアクションΔを用いて、連結因子がΔ(Φ_KZ^p) = Φ_KZ^p ⊗ Φ_KZ^p を満たすことを証明し、群的構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進多重ゼータ値は、ℚₚにおける標準的級数が発散するにもかかわらず、意味的に定義可能だろうか？
• RQ2 p進多重多項ログラムは、ℂₚにおける開単位円板を越えてどのように拡張可能だろうか？ これによりz=1での評価が可能になる。
• RQ3 解析接続されたp進多項ログラムのz=1における極限は、分岐パrameter a ∈ ℂₚ の選択に依存するだろうか？
• RQ4 p進KZ方程式は、pMZVsの代数的および解析的構造をどのように整理するか？
• RQ5 pMZVsは、複素数版に対応するシャッフル積関係を満たすだろうか？

主な発見

• 解析接続されたp進多重多項ログラムのz=1における極限は、分岐パrameter a ∈ ℂₚ に依存しない。これにより、well-definedなp進多重ゼータ値が保証される。
• p-adic multiple zeta values は ζ_p(k₁,…,kₘ) := lim'_{z→1} Li_{k₁,…,kₘ}^a(z) として定義され、極限は存在し、aに依存しない。
• p進ドリンフェルト連結因子Φ_KZ^p は exp[𝕃^∧_{ℂₚ}, 𝕃^∧_{ℂₚ}] に属し、群的かつリー代数的構造を確認する。
• p進KZ方程式は、G₀^a と G₁^a という2つの基本解を有し、その比が連結因子を与える。両者とも0および1に正則な特異点を持つ同じ微分方程式を満たす。
• 連結因子は五角形方程式 Δ(Φ_KZ^p) = Φ_KZ^p ⊗ Φ_KZ^p を満たし、ガロア理論的枠組みにおけるその役割を確認する。
• シャッフル積の公式 Z_p(W) · Z_p(W') = Z_p(W ∘ W') は、自由代数内のすべての語W, W' に対して成り立つ。これはp進KZ方程式と連結因子の構造により示される。