[論文レビュー] p-adic path set fractals

William C. Abram, Jeffrey C. Lagarias|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

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ひとこと要約

本稿では、グラフ指向的構成における有限オートマトンの経路によって定義される、Z_p 内の p-進フラクタル集合のクラスを導入し、p-進加法、p-整数理有理数による乗法、およびミンコフスキー和に関して閉じていることを証明している。これらの結果は純粋に p-進的であり、実数では成り立たない。さらに、それらのハウスドルフ次元について計算可能な公式を確立している。

ABSTRACT

This paper considers a class C(Z_p) of closed sets of the p-adic integers obtained by graph-directed constructions analogous to those of Mauldin and Williams over the real numbers. These sets are characterized as collections of those p-adic integers whose p-adic expansions are describeed by paths in the graph of a finite automaton issuing from a distinguished initial vertex. This paper shows that this class of sets is closed under the arithmetic operations of addition and multiplication by p-integral rational numbers. In addition the Minkowski sum (under p-adic addition) of two set in the class is shown to also belong to this class. These results represent purely p-adic phenomena in that analogous closure properties do not hold over the real numbers. We also show the existence of computable formulas for the Hausdorff dimensions of such sets.

研究の動機と目的

• グラフ指向的構成と有限オートマトンを用いて、p-進整数の閉じた部分集合のクラスを定義し、特徴づける。
• これらの集合が p-進算術演算、特に加法および p-整数理有理数による乗法に関して閉じているかを調査する。
• 2つのこのような集合のミンコフスキー和が、同様のクラスに属することを示す。これは p-進設定に特有の性質である。
• これらのフラクタル集合のハウスドルフ次元について、計算可能な公式を確立する。
• 実数における類似結果が成立しないことにより、p-進と実数の間の違いを強調し、純粋に p-進的な現象であることを示す。

提案手法

• 初期頂点から出発する有限オートマトン内の経路に従う p-進整数の展開を持つ p-進フラクタルを、集合として構成する。
• モールディンとウィリアムズの手法に類似したグラフ指向的構成技術を用いるが、p-進位相に適合させる。
• p-進整数の構造とその展開を用いて、オートマトン的制約によってフラクタル集合を定義する。
• p-進算術演算（加法、p-整数理有理数による乗法）を適用し、閉包性質を分析する。
• 位相的および測度論的道具を用いて、オートマトンの構造に基づくハウスドルフ次元の公式を導出する。
• 結果を実数における類似物と比較し、閉包現象の純粋に p-進的性質を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-進整数のどの部分集合が、固定された初期状態から出発する有限オートマトン内の経路に従う展開を持つ p-進整数の集合として記述可能か？
• RQ2 これらの集合は p-進加法および p-整数理有理数による乗法に関して閉じているか？
• RQ3 2つのこのような集合のミンコフスキー和も、同じクラスに属するか？
• RQ4 これらの集合のハウスドルフ次元は、オートマトンの構造に基づく公式によって計算可能か？
• RQ5 なぜこれらの閉包性質は実数の設定では成立しないのか？これにより、純粋に p-進的な現象が浮き彫りになる。

主な発見

• p-進パスセットフラクタルのクラスは、p-進加法に関して閉じている。
• このクラスは、p-整数理有理数による乗法についても閉じている。
• このクラスに属する任意の2つの集合のミンコフスキー和も、同様にこのクラスに属する。
• これらの閉包性質は、実数上での類似集合では成り立たず、純粋に p-進的な現象であることが示された。
• このような集合のハウスドルフ次元について、計算可能な公式が存在し、オートマトンの構造から導出可能である。
• 次元の公式は、定義する有限オートマトンの遷移構造から明示的に構成可能である。