[論文レビュー] $p$-adic quantum hyperenveloping algebra for $\mathfrak{sl}_{2}$

Anton Lyubinin|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散的に価値をとる体 $L$ 上で、反復非可換冪級数代数を用いて、Tate代数を一般化する $p$-進量子超包あらゆる代数 $̂widehat{U}_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ を構成する。主な貢献は、$U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の連続的双対として $SL_q(2,L)$ のバナッハホップ代数の完備化を構成し、余乗法と反対元の有界性を保証するノルム位相を備えることで、非可換かつ非余可換な $L$-バナッハホップ代数のコンパクト型が得られることである。

ABSTRACT

We construct an example of quantum hyperenveloping algebra over discretely valued field for the Lie algebra $\mathfrak{sl}_{2}$.

研究の動機と目的

• 離散的に価値をとる体 $L$ 上での $\mathfrak{sl}_2$ の $p$-進量子超包あらゆる代数の類似を構築すること。
• ノルム完備化を用いて $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ 及びその双対 $SL_q(2,L)$ の理論を非アーベル的設定に拡張すること。
• $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ と $SL_q(2,L)$ 間の位相的双対性を、ホップ代数の作用の連続性を保証するノルム構造を用いて確立すること。
• 非可換冪級数と完備化技術を活用し、スケイリングペアリングを用いて $p$-進設定における量子二重構成を一般化し、余乗法と反対元の有界性を保証すること。
• 連続的双対としての $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の完備化の双対が、コンパクト型のバナッハホップ代数をなすこと、非アーベル的量子群理論への応用を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 反復非可換冪級数代数を用い、Tate代数と類似の性質を持つことを示し、$U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の完備化を定義する。
• $R_E, R_F < 1$ をパrameterとして用い、$\widehat{U}_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ 上にノルム $\nu'_{R_E,R_F}$ を定義し、$SL_q(2,L)$ とのペアリングにおける行列係数の収束を保証する。
• 量子二重構成を用いて証明を簡略化し、$U_q(\mathfrak{b}_{L,+})$ と $U_q(\mathfrak{b}_{L,-})$ 間の双対性を確立し、$SL_q(2,L)$ とのペアリングの基礎をなす。
• $\nu'_{R_E,R_F}$ に関する完備化 $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の連続的双対をとることで、有界線形汎関数のバナッハ空間が得られる。
• $C_{R_E,R_F}^{\text{an}}(SL_q(2,L))$ を、この双対空間内での $SL_q(2,L)$ の閉包として定義し、係数が $R_E^{-k}R_F^{-m}$ の速度で減少する級数からなる。
• $C^\omega(SL_q(2,L)) = \varinjlim C_{R_E,R_F}^{\text{an}}(SL_q(2,L))$ を用いて、コンパクト型の局所凸空間を形成し、非可換かつ非余可換な $L$-ホップ代数構造を備える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的に価値をとる体 $L$ 上での $\mathfrak{sl}_2$ の $p$-進量子超包あらゆる代数をどのように構成できるか。
• RQ2 $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の双対における余乗法と反対元が有界かつ連続となるノルム位相は何か。
• RQ3 量子二重構成は $p$-進設定に適応可能か。これにより双対性の証明が簡略化され、ホップ代数作用の有界性が保証されるか。
• RQ4 完備化された $U_q(\mathfrak{sl}_{2,L})$ の連続的双対としての位相的代数的構造は何か。
• RQ5 $SL_q(2,L)$ 上のハール汎関数が $p$-進設定で有界のままである条件は何か。

主な発見

• $C_{R_E,R_F}^{\text{an}}(SL_q(2,L))$ は、重み付きのノルム $R_E^{-k}R_F^{-m}$ における essentially 絶対値ノルムに関してバナッハ代数であり、余乗法、余単位、反対元に関して閉じている。
• 双対汎関数 $\alpha \in SL_q(2,L)$ のノルムは $\|\alpha\|_{\nu'_{R_E,R_F}}^* = \sup_{\nu'_{R_E,R_F}(x) \leq 1} |\langle x, \alpha \rangle|_L$ で与えられ、有界性が保証される。
• $|q|_L = 1$ のとき、ペアリングは $|\langle K^m E^n F^l, a^s c^r b^t \rangle|_L = \delta_{rn}\delta_{tl} |[n]_q!|_L |[l]_q!|_L$ を満たし、$a^s c^r b^t$ の双対ノルムは $R_E^{-r} R_F^{-t}$ である。
• 同様に、$d^s c^r b^t$ の双対ノルムも $R_E^{-r} R_F^{-t}$ であり、基底全体にわたるノルムの一貫性が示される。
• $C^\omega(SL_q(2,L))$ の帰納的極限は、非可換かつ非余可換な $L$-ホップ代数のコンパクト型をなし、関数解析における非アーベル的解析関数空間と類似している。
• $|q|_L < 1$ のとき、$SL_q(2,L)$ 上のハール汎関数は有界のままであり、双対性がより広いパrameterのクラスへ拡張可能である。