[論文レビュー] p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets

A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich+1 more|ArXiv.org|Nov 18, 2007

advanced mathematical theories被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、p進数の多スケール解析（MRA）枠組み内で、p進数の滑らかさ関数を用いて、直交p進ウェーブレット基底を構成する一般化された手法を提示する。p進数のリファインメント方程式のクラスを確立し、MRAを生成するものであり、ユニタリ行列拡張を用いた構成的手法により、正規直交ウェーブレットを導出する。これにより、新しい3進数ウェーブレット基底が得られ、既知のp進数のハールウェーブレットが特殊ケースとして回復される。

ABSTRACT

We described a wide class of $p$-adic refinable equations generating $p$-adic multiresolution analysis. A method for the construction of $p$-adic orthogonal wavelet bases within the framework of the MRA theory is suggested. A realization of this method is illustrated by an example, which gives a new 3-adic wavelet basis. Another realization leads to the $p$-adic Haar bases which were known before.

研究の動機と目的

• リファインメント方程式に基づくp進数多スケール解析（MRA）の一般理論を構築すること。
• p進数の文脈において、直交ウェーブレット基底を体系的に構成する手法を提供すること。
• p進数MRA理論が克服できない障害に直面しているという従来の仮定を乗り越えること。
• 新しいp進数ウェーブレット基底の構成、特に独創的な3進数例を示すこと。

提案手法

• 本稿は、形式 $\phi(x) = \sum_{r=0}^{p-1} \phi\left(\frac{1}{p}x - \frac{r}{p}\right)$ のp進数リファインメント方程式のクラスを定義し、MRAのスケーリング関数を生成する。
• 周波数領域におけるリファインメント方程式の特徴づけに、フーリエ変換とマスク関数 $m_0(\xi)$ を用いる。
• ウェーブレット関数 $\psi^{(\nu)}$ は、スケーリング関数 $\phi$ のスケーリングおよびシフトコピーの線形結合として、係数 $\gamma_{\nu k}$ を用いて構成される。
• 直交性条件は、ベクトル $B$ と $G_\nu$ から構成される行列 $U$ がユニタリであることを要請することで強制される。
• 構成は、マスクから得られるベクトル $B$ を、適切なウェーブレット係数ベクトル $G_\nu$ を選ぶことによって、ユニタリ行列 $U$ に拡張することに依存する。
• この手法は、$s=1$（コージェーヴのウェーブレットの回復）および $s=2$, $p=3$（新しい3進数ウェーブレット基底の構成）の2つの場合に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MRAを生成する一般化されたp進数リファインメント方程式のクラスを定義可能か？
• RQ2 MRAフレームワークを用いて、p進数の文脈で直交ウェーブレット基底を体系的に構成可能か？
• RQ3 ユニタリ拡張原理をp進数の文脈に適応し、ウェーブレット構成に応用可能か？
• RQ4 非ハール型リファインメント関数から得られるp進数ウェーブレット基底の明示的形は何か？
• RQ5 既知のハール型基底を超えた新しいp進数ウェーブレット系を構成可能か？

主な発見

• 特定のマスク $m_0(z)$（次数8）を有する非ハール型リファインメント関数を用いて、明示的に新しい3進数直交ウェーブレット基底が構成された。
• ウェーブレット関数 $\psi^{(1)}$ と $\psi^{(2)}$ は、半径 $1/3$ および $1$ のp進数の球上で区分的定数関数として与えられ、具体的な値は以下の通り：$\psi^{(1)} = -\sqrt{3/2}$ を $|x|_p \leq 1/3$ で、$\sqrt{3/2}$ を $|x-1|_p \leq 1/3$ で、それ以外では0；$\psi^{(2)} = -1/\sqrt{2}$ を $|x|_p \leq 1/3$ および $|x-1|_p \leq 1/3$ で、$\sqrt{2}$ を $|x-2|_p \leq 1/3$ で。
• マスクが一様分布 $m_0(\xi) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} \chi_p(k\xi)$ に対応する場合、既知のp進数ハールウェーブレットが回復される。
• 拡張された行列 $U$ がユニタリであることを要請することで、ウェーブレット系の正規直交性が保証され、明示的なベクトル構成によりそれが検証された。
• 3進数の場合のスケーリング関数 $\phi$ は、区分的定数関数であり、$|x|_p \leq 1/3$ で $-1/3$、$|x-1/3|_p \leq 1$ および $|x-2/3|_p \leq 1$ で $2/3$、それ以外では0の値をとる。
• このフレームワークは、古典的MRA手法をp進数解析へ一般化し、かつての懐疑論にもかかわらず、p進数MRAが実現可能であることを示している。