[論文レビュー] p-Adic wavelet transform and quantum physics

M. V. Altaĭsky|ArXiv.org|Jun 13, 2004

advanced mathematical theories参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、階層的量子系をモデル化するための道具としてp進ウェーブレット変換を導入し、標準的なウェーブレット変換をp進数に一般化する。p進ウェーブレット、特にハールウェーブレットを用いることで、量子系におけるマルチスケール構造を記述でき、p > 2状態を有するp進量子力学およびp進量子コンピューティングの新しい枠組みを可能にする。

ABSTRACT

p-Adic wavelet transform is considered as a possible tool for the description of hierarchic quantum systems

研究の動機と目的

• 量子物理学への応用を目的とした、ウェーブレット変換のp進一般化を開発すること。
• p進数の幾何学的・代数的構造を、階層的量子系の基礎として探求すること。
• p進数論を用いて、qubit（p=2）を超えるp>2個の直交状態を持つ系へ、量子コンピューティングの概念を拡張すること。
• p進ウェーブレット変換と階層的量子系におけるヒルベルト空間の状態との間の関係を確立すること。
• p-キュービットとp進フーリエ／ウォルシュ＝ハダマール変換を用いた、p進量子コンピューティングの枠組みを提唱すること。

提案手法

• 標準的なウェーブレット変換をp進数に適応させるために、L^1(Q_p) 上でのアフィン群作用をp進スケーリングおよび平行移動を用いて再定義する。
• 積分公式 (W_ψf)(a,b) = ∫ |a|_p^{-1} ψ((x-b)/a) f(x) dx を用いてp進ウェーブレット変換を定義する。ここで a ∈ Q_p^*, b ∈ Q_p である。
• コンパクトに台を持つ基本ウェーブレットとしてハールウェーブレットを用い、C_ψ = ∫ |ψ̃(ω)|² / |ω|_p dω を満たす適性条件を満たす。
• p進ハール測度を備えたQ_p上の平方可積分関数のヒルベルト空間を構成し、ウェーブレット変換の等長性を定義する。
• p>2状態を有する量子系にp進ウェーブレット変換を適用し、Z_p対称性を有するヌクレオチド配列をpキュービットとしてモデル化する。
• pキュービット状態におけるモジュロ算術（mod p）を用いて、アダマール変換やフーリエ変換などの量子操作をp進系へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が実数ではなくp進体上に定義された場合、ウェーブレット変換はどのように一般化できるか？
• RQ2 p進数は、量子系における階層的構造をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 p進ウェーブレットは、実空間ウェーブレットと同様に、量子状態のマルチスケール記述を可能にするか？
• RQ4 p進数論を用いて、量子コンピューティングをqubit（p=2）を超えて、p>2個の直交状態を持つ系へどのように拡張できるか？
• RQ5 p進ウェーブレット変換は、量子情報処理および量子生物学にどのような意味を持つのか？

主な発見

• p進ウェーブレット変換は、Q_p上でのアフィン群作用と左不変なハール測度 dμ_L(g) = da/db² を用いて定義され、実ウェーブレット変換を一般化する。
• Q_p 上のハールウェーブレットは、C_ψ = ∫ |ψ̃(ω)|² / |ω|_p dω を満たす適性条件を満たし、逆変換の存在を保証する。
• 階層的量子系のヒルベルト空間の状態は、p進引数に依存する波動関数を有する L^2(Q_p) として構成される。
• p進量子コンピューティングは、Z_p 上でのモジュロ算術を用いてqubit操作をpキュービットへ一般化することで提唱され、p進アダマール変換は H|x⟩ = 1/√p ∑_{y=0}^{p-1} (-1)^{x⊗y} |y⟩ として定義される。
• p進フーリエ変換は、標準的量子フーリエ変換と同様に定義され、核関数 exp(2πi xy / ω) を有する。ここで ω = p^n はn個のpキュービットに対応する。
• この枠組みにより、生物学的配列（例：DNA）をp=5としてp進量子系として自然に記述でき、ヌクレオチドが生化学的対称性を有するZ_5要素にマッピングされる。