[論文レビュー] $p$-Central Subspaces of Central Simple Algebras

Adam Chapman|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、特にクリフォード代数、巡回代数のテンソル積、およびチェーン補題に注目して、中心的単純代数における$p$-中心部分空間を調査する。$p$-中心形式の有限線形化問題は、有限次元表現の構成によって解決され、標準生成子を含む4次巡回代数における4-中心部分空間の最大次元が5であることが証明され、任意の特徴値においてバイクaternion代数のチェーン補題が確立され、クaternion行列の左固有値を計算するための計算フレームワークが提供される。

ABSTRACT

We study central simple algebras in various ways, focusing on the role of $p$-central subspaces. The first part of my thesis is dedicated to the study of Clifford algebras. The standard Clifford algebra of a given form is the generic associative algebra containing a $p$-central subspace whose exponentiation form is equal to the given form. There is an old question as for whether these algebras have representations of finite rank over the center, and jointly with Daniel Krashen and Max Lieblich we managed to provide a positive answer. Different generalizations of the structure of the Clifford algebra are presented and studied in that part too. The second part is dedicated to the study of $p$-central subspaces of given central simple algebras, mainly tensor products of cyclic algebras of degree $p$. Among the results, we prove that $5$ is the upper bound for the dimension of 4-central subspaces of cyclic algebras of degree 4 containing pairs of standard generators. The third part is dedicated to chain lemmas. Chain lemmas are of importance in the theory of central simple algebras, because they form one approach to solving the word problem for the Brauer group. We prove the chain lemma for biquaternion algebras, both in characteristic 2 and characteristic not 2, and prove some partial results on the chain lemmas for cyclic algebras of degree $p$. The fourth part is dedicated to the more computational aspects of the theory. It contains results on quaternion polynomial equations and on left eigenvalues of quaternion matrices.

研究の動機と目的

• 関連するクリフォード代数の有限次元表現を構成することで、$p$-中心形式の有限線形化問題を解決すること。
• 特に$p=4$の場合に、巡回代数のテンソル積における$p$-中心部分空間の最大次元を特定すること。
• 特徴値2および奇数特徴値の両方において、バイクaternion代数のチェーン補題を確立し、ブラウアー群における語の問題を前進させること。
• クaternion行列代数における多項式方程式の解法および左固有値の計算のための計算ツールを開発すること。

提案手法

• 与えられたべき乗形をもつ$p$-中心部分空間を含む一般の結合代数としての標準クリフォード代数を構成する。
• 非可換変数における多項式に対して再帰的還元処理を適用し、単項式の長さを短縮しながら$p$-中心要素を保存することで、有限表現可能性を証明する。
• 最大部分体と分解技術を用いて、$p$-巡回代数における$p$-中心要素の鎖を分析する。
• ディュドネの行列式と同型写像$h: D_G[z] \to D\langle x_1,\dots,x_N\rangle$を用いて、除法代数上の行列の特性多項式を定義する。
• 4×4クaternion行列の左固有値の計算を、ブロック行列の分解により3つの二次多項式と1つの6次多項式の解法に還元する。
• 行列$C$が正則であるとき、$\lambda$が左固有値であるための必要十分条件として、公式$\lambda$ is a left eigenvalue $\iff e(\lambda)\overline{e(\lambda)}h(\lambda) - g(\lambda)\overline{e(\lambda)}f(\lambda) = 0$ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$p$-中心形式は、その中心上で有限次元表現をもつか？
• RQ2 標準生成子を含む2つの4次巡回代数のテンソル積における4-中心部分空間の最大次元は何か？
• RQ3 特徴値2におけるバイクaternion代数のチェーン補題を確立できるか？
• RQ4 4×4クaternion行列の左固有値を、特性多項式を完全に計算するよりも効率的に計算する方法はあるか？
• RQ5 除法代数上の一般多項式の環と自由モノイド上の群環との間に、標準的な同型写像が存在するか？

主な発見

• $p$-中心形式の有限線形化問題は肯定的に解決された：関連するクリフォード代数は中心上で有限次元表現をもつ。
• 標準生成子を含む2つの4次巡回代数のテンソル積における4-中心部分空間の最大次元は5で抑えられる。
• 特徴値2および奇数特徴値の両方において、バイク quaternion 代数のチェーン補題が成立し、ブラウアー群における語の問題を解消するための重要な道具が得られた。
• 下左ブロックが正則である4×4クaternion行列の場合、左固有値は3つの二次多項式と1つの6次多項式からなる系の解法によって決定される。
• 除法代数上の行列の特性多項式は、同型写像$h^{-1}(\det(\widehat{A - \lambda I}))$を介して定義され、行列サイズと除法代数の次数を$d$とすると、次数$kd$の多項式が得られる。
• クaternion代数における多項式の共役は明示的な公式により計算可能であり、これにより行列の各ブロックから固有値条件を導出可能となる。