[論文レビュー] p-cyclic persistent homology and Hofer distance

Jun Zhang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 4$ かつ $p$ が十分に大きいとき、$Σ_g \times M$ 上の時刻に依存するハミルトニアン微分同相と $p$ 乗ハミルトニアン微分同相の間のホーファー距離が、任意に大きくなり得ることを確立する。$p$-周期的恒続的ホモロジーとフローリー的枠組みにおける特異値分解を用いて、著者たちはポルトェルヴィッチとシェルキンの結果を一般化し、$τ_p(Σ_g \times M) = \infty$ を証明する。これは $τ(Σ_g \times M) = \infty$ を意味し、すべての閉じたシンプレクティック多様体に対して $τ(X) = \infty$ であるという予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the result from L. Polterovich and E. Shelukhin's paper stating that Hofer distance from time-dependent Hamiltonian diffeomorphism to the set of p-th power Hamiltonian diffeomorphism can be arbitrarily large to hold in the product structure $Σ_g imes M$ for any closed symplectic manifold $M$ when $p$ is sufficiently large and $g \geq 4$. This implies that, on this product, Hofer distance can be arbitrarily large between time-dependent Hamiltonian diffeomorphism and autonomous Hamiltonian diffeomorphism.The basic tool we use is barcode and singular value decomposition that are developed in previous joint work with M. Usher, from which we borrow many proofs and modify them so that it can be adapted to the situation that filtered chain complex equipped with a group action.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン力学におけるホーファー距離に関するポルトェルヴィッチとシェルキンの結果を、より広いクラスのシンプレクティック多様体へと拡張すること。
• $g \geq 4$ かつ十分に大きな素数 $p$ に対して、$\text{power}_p(\Sigma_g \times M) = \infty$ を確立することにより、$\text{aut}(\Sigma_g \times M) = \infty$ を示すこと。
• $p$-周期的恒続的ホモロジー技法を、群作用を伴うフローリー的枠組みに開発・適用し、従来の手法を一般化すること。
• バーコード多重度と特異値分解を用いたホモロジー的障害を提供し、非自明なホーファー距離を検出すること。

提案手法

• ループの回転を介してフローリー複体に $p$-周期的作用を構成し、チェインレベルで $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-作用を誘導する。
• この群作用の下で、フィルター付きフローリー複体の構造を分析するために $p$-周期的特異値分解を適用する。
• $p$ 重のべき写像の写像コーンのバーコード分解を用いて、ホーファー距離に関連する不変量を抽出する。
• $\Sigma_g \times M$ のバーコードの積構造を活用し、積のバーコードを因子のバーコードに関連付ける。
• 二項係数とババッジの定理を用いて、積複体のバーコードにおける有限長のバーの多重度を計算する。
• バーコード多重度を $p$ を法として割り切れるか否かを分析し、ホーファー距離の非自明性を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 4$ のとき、$Σ_g \times M$ 上で、時刻に依存するハミルトニアン微分同相と $p$ 乗ハミルトニアン微分同相の間のホーファー距離は、任意に大きくなり得るか？
• RQ2 $p$-周期的恒続的ホモロジー枠組みは、ハミルトニアン群における $p$ 乗根の存在に対する強固な障害を提供するか？
• RQ3 $p$ 重のべき写像および群作用の下で、フローリー複体のバーコード構造はどのように変化するか？
• RQ4 エッグビーター・モデルは、$g \geq 4$ の $Σ_g$ に対してバーコード不変量を計算する上で果たす役割は何か？
• RQ5 積複体における次数 1 のバーの多重度が $p$ で割り切れないのはどのような条件下か？ これは非自明なホーファー距離を示唆する。

主な発見

• $g \geq 4$ かつ十分に大きな素数 $p$ に対して、ホーファー距離 $\text{power}_p(\Sigma_g \times M)$ は無限大である。これはポルトェルヴィッチとシェルキンの結果を一般化する。
• 積複体 $\Sigma_g \times M$ のバーコードにおける次数 1 の有限長バーの多重度は、$\sum_{k=-p+1}^{p+1} \binom{2p}{k+p-1} \cdot qb_{1-k}(M)$ で与えられ、$p > 2\sum_{0 \leq i \leq 2n} b_i(M)$ のとき $p$ で割り切れない。
• 多重度の和における中央項 $\binom{2p}{p} \cdot qb_0(M)$ は、$\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p}$ を満たし、$p$ を法として非ゼロの項を寄与する。
• $M = \mathbb{C}P^n$ のとき、多重度を $p$ を法として見たときの値は 2 であるため、すべての素数 $p \geq 3$ に対して非可除性が成り立ち、$\text{power}_p(\Sigma_g \times \mathbb{C}P^n) = \infty$ が成り立つ。
• $c_1(TM) = 0$ のとき、多重度を $p$ を法として見た値は $b_p(M) + 2$ である。したがって、$p \nmid b_p(M) + 2$ ならば非可除性が成り立ち、より洗練された障害条件が得られる。
• $p$-周期的恒続的ホモロジーを特異値分解を介して構成することで、ハミルトニアン群における $p$ 乗根に対するホモロジー的障害を可能とし、ホーファー距離の無限大性の証明が可能になる。