[論文レビュー] p-DG cyclotomic nilHecke algebras

Mikhail Khovanov, Qi You+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、素数の単位根における量子sl₂の2つのウェイル加群のテンソル積をカテゴリフィケーションするため、p-DG（p-微分付きグレーディング）コサイクルニルヘッケ代数を導入する。ニルヘッケ代数にp-冪零微分を導入し、ホプフォロジカル代数を用いることで、素数の単位根における量子群U_q(sl₂)のカテゴリフィケーションを構成する。二重中心化性質を確立し、m重テンソルクオーバー・シュール代数のコンパクトな導来圏が、m重テンソル積表現における対応する重み空間をカテゴリフィケーションすることを証明する。

ABSTRACT

We categorify a tensor product of two Weyl modules for quantum sl(2) at a prime root of unity.

研究の動機と目的

• 素数の単位根における量子群のカテゴリフィケーションのためのp-DGフレームワークを構築すること。
• ウェイル加群のテンソル積を含む、量子sl₂のカテゴリフィケーションを拡張すること。
• p-DG加群の文脈において二重中心化性質を確立すること。
• ウェブスターアルゲブラを用いてm-テンソルクオーバー・シュール代数の図式的カテゴリフィケーションを構成すること。
• m-テンソルクオーバー・シュール代数のコンパクトな導来圏が、m重テンソル積表現における対応する重み空間をカテゴリフィケーションすることを証明すること。

提案手法

• ニルヘッケ代数にp-冪零微分を導入し、p-DG代数にすること。
• ホプフォロジカル代数を用いてp-DG導来圏を定義し、そのグロテンディーク群を研究すること。
• p-DG 2カテゴリーUがニルヘッケ代数上のp-DG加群の圏に作用するカテゴリカル作用を構成すること。
• 二重中心化定理を適用し、ニルヘッケ代数上のp-DG加群の圏とクオーバー・シュール代数上の加群の圏を関連させること。
• ウェブスターのイデムポテンと図式的表現を用いて加群を再構成し、自己準同型代数の同型を証明すること。
• 特定のG(λ)加群の直和の自己準同型代数が、ウェブスター代数上の対応する加群の自己準同型代数と同型であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-DG構造は、どのようにして素数の単位根における量子群のカテゴリフィケーションに用いられるか？
• RQ2 ニルヘッケ代数上のp-DG加群の文脈において、二重中心化性質の役割は何か？
• RQ3 m-テンソルクオーバー・シュール代数は、p-DGウェブスターアルゲブラを用いてカテゴリフィケーション可能か？
• RQ4 m-テンソルクオーバー・シュール代数のコンパクトな導来圏は、m重テンソル積のウェイル加群における対応する重み空間をカテゴリフィケーションするか？
• RQ5 m=2の場合の分類されたp-DG構造は、一般のmにどのように一般化されるか？

主な発見

• 本稿では、ニルヘッケ代数にp-DG構造を構成し、素数の単位根における小さな量子群の正の部分のカテゴリフィケーションを可能にする。
• p-DGニルヘッケ代数とクオーバー・シュール代数の間で二重中心化性質が確立され、それらの加群圏が関連づけられる。
• eλG(λ)加群の直和の自己準同型代数は、対応するウェブスター代数上の加群の自己準同型代数と同型である。
• m-テンソルクオーバー・シュール代数のコンパクトな導来圏は、m重テンソル積のウェイル加群における重みl−2n部分空間をカテゴリフィケーションすると予想される。
• 極端な場合m=lにおいて、分類されたp-DG構造は準ヘレディタリーp-DG構造にアップグレードされると予想され、これは続編で開発される予定である。