[論文レビュー] P-Divisors of Cox Rings

Klaus Altmann, Jarek Wisniewski|ArXiv.org|Nov 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モーリ・ドリーム・スペース（MDS）のコックス環に対して、多面体係数（p-除集合）による記述を確立し、そのトーラス作用が安定基底系列と漸近的重複度の幾何にどのように関連するかを示す。コックス環をチャウ商 Y 上の p-除集合として表現することで、多面体係数が除集合の安定化された重複度を符号化することを示し、基底点系列の凸幾何的実現を可能にするとともに、移動可能除集合と GIT 商を介して有効なコーンからネフコーンへの再び引き戻しを可能にする。

ABSTRACT

The Cox ring of a so-called Mori Dream Space (MDS) is finitely generated and it is graded over the divisor class group. Hence the spectrum of the Cox ring comes with an action of an algebraic torus whose GIT quotient is the variety in question. We present the associated description of this Cox ring as a polyhedral divisor. Via the shape of its polyhedral coefficients, it connects the equivariant structure of the Cox ring with the world of stable loci and stable multiplicities of linear systems.

研究の動機と目的

• モーリ・ドリーム・スペース（MDS）のコックス環の幾何的記述を、p-除集合の形式的記法を用いて提供すること。
• コックス環のスペクトラムの等変構造を、MDS 上の線形系統の安定基底系列と安定化された重複度に結びつけること。
• コックス環の p-除集合が、表面におけるザリスキ分解を符号化し、移動可能除集合と GIT 商を介して高次元 MDS に一般化されることを示すこと。
• クラス群からチャウ商の除集合類群へのファングワイズ線形写像を用いて、MDS の有効コーンとネフコーンを理解するための凸幾何的枠組みを確立すること。

提案手法

• Q-因子的で射影的な MDS のコックス環を、そのチャウ商 Y 上の p-除集合として表現し、Spec(Cox(Z)) 上のトーラス作用を用いる。
• p-除集合を ∑∆i ⊗ Di の形で定義し、∆i を特性格子のテイルコーン内の多面体係数とし、Di を特異的除集合とする。
• 多面体係数 ∆i を {C ∈ Cl∗(Z)Q | C ≥ −multst_Di} + shift として特徴づけ、これにより除集合の安定化された重複度に関連付ける。
• p-除集合写像と除集合類写像の合成を用いて、有効コーン Eff(Z) とチャウ商 Y のネフコーン Nef(Y) の関係を関係づける。
• トーリックおよび表面の場合にこの形式的記法を適用し、デル・ペッツォ表面では p-除集合が直交ザリスキ分解を実現することを示す。
• 双対多面体とファングワイズ線形関数を用いて結果を再表現し、特にトーリックの場合に有効にし、移動可能コーンへの再帰的写像を介して高次元 MDS に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーリ・ドリーム・スペースのコックス環は、p-除集合とトーラス作用の言語を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 コックス環の p-除集合における多面体係数の幾何的意味は、安定基底系列と漸近的重複度の観点から何を示しているか？
• RQ3 p-除集合構造は、特にデル・ペッツォ表面においてザリスキ分解をどのように反映するか？
• RQ4 p-除集合写像を通じて、MDS の有効コーンとそのチャウ商のネフコーンの関係は何か？
• RQ5 二点を blown up した P² の例によって示されるように、多様体の変形に伴い p-除集合係数はどのように変化するか？

主な発見

• モーリ・ドリーム・スペースのコックス環の p-除集合は、有限個の特異的除集合に台を持つ。多面体係数は ∆i = {C ∈ Cl∗(Z)Q | C ≥ −multst_Di} + shift であり、安定化された重複度を符号化している。
• デル・ペッツォ表面 S に対して、Cox(S) の p-除集合は D = id_Cl(S) + ∑(0·Ei + Nef(S)) ⊗ Ei で与えられ、直交ザリスキ分解を反映している。
• デル・ペッツォ表面では、p-除集合が有効コーンからネフコーンへの線形な再び引き戻しを実現しており、ザリスキチェンバー上で線形である。
• 表面の場合、チャウ商 Y は表面 S そのものに一致するため、p-除集合は有効除集合上で線形な再び引き戻しとしてザリスキ分解を直接記述する。
• トーリックでない表面、例えば P² の2つの無限に近い点を blown up した場合、p-除集合係数は非自明な多面体（例：∆_E1 = conv{0, ½[E1], [E1]+[E2]}) となり、非直交的挙動を示す。
• 有効コーンは変形において上半連続（Eff(S2) ⊃ Eff(S1)）であり、移動可能コーンとネフコーンは下半連続（Mov(S2) ⊂ Mov(S1)）である。これは、2つの点を blown up した例で確認できる。