[論文レビュー] p-elementary subgroups of the Cremona group

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Feb 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数閉体 $k$ 上のクレモナ群の $p$-初等部分群を分類し、特に $p \neq \mathrm{char}(k)$ のとき $(\mathbb{Z}/p)^r$ に同型であるものを扱う。有理曲面における幾何的実現およびデル・ペッツォ曲面や $\mathbb{P}^1$-ファイブレーション上の群作用の分類を用いて、$p \geq 5$ のとき $r \leq 2$ であり、このような部分群は $PGL_3(k)$ の対角トーラスの $p$- torsion に共役であることを示す。$p=3$ のとき $r \leq 3$ であり、$r=3$ のとき $PGL_4(k)$ の $3$- torsion に共役で、フェルマー曲面に作用する。$p=2$ のとき $r \leq 4$ であり、$r=4$ の場合には明示的な共役類が得られる。主な貢献は、このような部分群の共役類にわたる完全な分類である。

ABSTRACT

We classify, up to conjugacy, the subgroups of the Cremona group isomorphic to (Z/p)^r, where p is prime and r is maximal.

研究の動機と目的

• クレモナ群 $\mathrm{Cr}_k$ の $p$-初等部分群、すなわち素数 $p \neq \mathrm{char}(k)$ に対して $(\mathbb{Z}/p)^r$ に同型である部分群を共役を除いて分類すること。
• 特に $p=2,3,5$ 以上のケースに注目して、有限部分群に関する先行研究を拡張し、$p$-初等構造に焦点を当てる。
• このような部分群の最大のランク $r$ を特定し、有理曲面上の幾何的実現を用いてその共役類を記述すること。
• クレモナ群において $p$-初等部分群を含む最大トーラスの非一意性を解明し、半単純群とは対照的に、中心化群の性質を比較すること。

提案手法

• 有理曲面 $S$ としての $G \subset \mathrm{Aut}(S)$ を用いて、$p$-初等部分群を $\mathbb{P}^2_k$ に双有理同倣である最小の有理曲面としての自己同型群として実現する。
• 分類問題を二つの場合に還元する：$G$ が $\mathbb{P}^1$-ファイブレーションを保存する場合、または $\mathrm{rk}\,\mathrm{Pic}(S)^G = 1$（つまり $S$ がデル・ペッツォ曲面）である場合。
• 関数体 $K$ に対する $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1_K)$ の $p$-初等部分群を、既知の $PGL_2(K)$ の結果、特に $p$- torsion 部分群を用いて分類する。
• フェルマー曲面や四次デル・ペッツォ曲面の自己同型群構造を用いて、$G$ のデル・ペッツォ曲面上での作用を分析する。
• $\mathbb{P}^1$ 上の5点の組の空間から $\mathbb{A}^5$ への $j$-不変量写像 $J$ を用い、単射性と固有性を証明することで、共役類の一意性を確立する。
• 吹き出しと接空間解析などの幾何学的・群論的技法を用いて、$J$-不変量写像が一般点で単射であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数閉体 $k$ 上のクレモナ群 $\mathrm{Cr}_k$ において、$p \neq \mathrm{char}(k)$ のとき、$p$-初等部分群 $G \cong (\mathbb{Z}/p)^r$ の最大ランク $r$ は何か？
• RQ2 このような部分群が $PGL_n(k)$ の対角トーラスの $p$- torsion に共役であるのは、どの $p$ と $r$ に対して成立するか？
• RQ3 特に $p=2$, $r=4$ のとき、非共役な $p$-初等部分群のランク $r$ はいくつ存在するか？
• RQ4 クレモナ群における $p$-初等部分群の中心化群が、半単純代数群とは異なり最大トーラスを一意に定めないのはなぜか？
• RQ5 フェルマー曲面、$\mathbb{P}^1$-ファイブレーションなどの幾何的構造は、どのようにこのような $p$-初等群作用を支えるか？

主な発見

• $p \geq 5$ のとき、$\mathrm{Cr}_k$ 内の $p$-初等部分群のランク $r$ は $r \leq 2$ を満たし、$r=2$ のとき、その部分群は $PGL_3(k)$ の対角トーラスの $p$- torsion に共役である。
• $p=3$ のとき $r \leq 3$ であり、$r=3$ のとき、その部分群は $PGL_4(k)$ の対角トーラスの $3$- torsion に共役で、フェルマー曲面 $X_0^3 + \cdots + X_3^3 = 0$ に作用する。
• $p=2$ のとき $r \leq 4$ であり、$r=4$ のとき、二つの非共役な可能性が存在する：一つは特定の有理関数を含む対合の集合から得られ、もう一つは $\mathbb{P}^4$ 内の四次デル・ペッツォ曲面に作用する $PGL_5(k)$ の対角トーラスの $2$- torsion から得られる。
• $\mathbb{P}^1$ 上の5点の組の空間から $\mathbb{A}^5$ への $j$-不変量写像 $J$ は一般点で単射であり、これは固有性と一般点におけるヤコビアン行列式の非消滅性により証明される。
• $2$-初等部分群のランク $4$ の共役類は一意ではなく、異なる幾何的実現から生じる二つの異なる類が存在する。
• $\mathrm{Cr}_k$ 内の $p$-初等部分群の中心化群は、最大トーラス内の中心化群よりも厳密に大きい。これは、半単純群とは異なり最大トーラスが一意でないことを説明する。