[論文レビュー] p-integrable solutions to multidimensional BSDEs and degenerate systems of PDEs with logarithmic nonlinearities

Khaled Bahlali, El Hassan Essaky+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所リプシッツ的でもないし、一様連続でもない生成関数を持つ、対数的非線形性 $ u\log u $ を持つ多変数の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に対して、$ p $-可積分解（$ p > 1 $）の存在、一意性、安定性を確立する。主な貢献は、非線形性が超線形成長を示し、$ p $-可積分終端データを有する退化系の半線形放物型PDEの理論を拡張し、物理的モデルに現れるこのような非線形性をカバーすることにある。

ABSTRACT

We study multidimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) which cover the logarithmic nonlinearity u log u. More precisely, we establish the existence and uniqueness as well as the stability of p-integrable solutions (p > 1) to multidimensional BSDEs with a p-integrable terminal condition and a super-linear growth generator in the both variables y and z. This is done with a generator f(y, z) which can be neither locally monotone in the variable y nor locally Lipschitz in the variable z. Moreover, it is not uniformly continuous. As application, we establish the existence and uniqueness of Sobolev solutions to possibly degenerate systems of semilinear parabolic PDEs with super-linear growth generator and an p-integrable terminal data. Our result cover, for instance, certain (systems of) PDEs arising in physics.

研究の動機と目的

• 対数的非線形性 $ u\log u $ を持つ生成関数を含む多変数BSDE理論を拡張すること。ここで生成関数は $ y $ に関して局所モノトニックでもリプシッツ連続でもない。
• 生成関数が $ y $ および $ z $ の両方において超線形成長を示す条件下で、$ p $-可積分解（$ p > 1 $）の存在、一意性、安定性を確立すること。
• BSDEの結果を応用して、$ p $-可積分終端データと対数的非線形性を有する退化系の半線形放物型PDEに対して、Sobolev解の存在と一意性を証明すること。
• Neveuの分岐機構に関連する超過程をモデル化する物理的PDE、例えば従来の標準的BSDEフレームワークの範囲外にあったものも含め、物理的PDEをカバーすること。

提案手法

• 著者らは、生成関数 $ f(y,z) = -Ky\log|y| $ の非リプシッツ的・非モノトニックな性質に適応した、事前推定と局所化技術に基づく新規なアプローチを用いる。
• 生成関数および終端条件の摂動に対して、$ L^p $-空間における収束議論を用いて $ p $-可積分解の安定性を確立する。
• 滑らかな生成関数を持つ近似BSDEの列を構成し、一様な事前推定を用いて元の方程式への収束を証明する。
• 主な技術的道具は、$ |Y_t|^p $ に適用した改良版伊藤の公式と、対数的成長を制御するためのヤングの不等式の組み合わせである。
• 従来のリプシッツまたはモノトニック性条件に基づく手法の制限を克服し、一様連続でない生成関数の取り扱いを可能にする。
• BSDE解とPDEとの関係は、非線形フェインマン＝カープの公式により確立され、$ (Y_t, Z_t) $ が解 $ u $ およびその勾配 $ \sigma^*\nabla u $ に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数が $ y $ に関して局所リプシッツ的でもモノトニックでもない場合でも、対数的非線形性 $ u\log u $ を持つ多変数BSDEに対して、$ p $-可積分解を確立できるか？
• RQ2 生成関数が $ y $ および $ z $ の両方において超線形成長を示す場合、そのような解の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 このBSDEフレームワークは、$ p $-可積分終端データと対数的非線形性を有する退化系の半線形放物型PDEを解くために拡張可能か？
• RQ4 非リプシッツ的設定下で、終端条件および生成関数の摂動に対する解の安定性はどのように振る舞うか？
• RQ5 この理論は、Neveuの分岐機構を有する超過程をモデル化する物理的PDEを、どの程度カバーできるか？

主な発見

• 本稿は、生成関数 $ f(y,z) = -Ky\log|y| $ を持つ多変数BSDEに対して、$ p > 1 $ における $ p $-可積分解の存在と一意性を証明する。ここで $ f $ は $ y $ に関して局所モノトニックでも局所リプシッツ連続でもなく、一様連続でもない。
• 生成関数 $ f $ は $ y $ および $ z $ の両方において超線形成長を許容し、解は $ p > 1 $ においても依然として $ p $-可積分のままである。これは古典的な $ L^2 $-枠組みを超える拡張である。
• 終端条件および生成関数の摂動に対して、$ L^p $-ノルムにおける収束を用いて解の安定性を確立する。
• 結果は、$ p $-可積分終端データと対数的非線形性を有する退化系の半線形放物型PDEに対して、Sobolev解の存在と一意性を証明するために応用される。
• 物理的PDE、例えば $ \partial_t u - \Delta u + u\log u = 0 $ のコーシー問題も、Neveuの分岐機構を有する超過程をモデル化するものとして、このフレームワークに含まれる。
• 非線形フェインマン＝カープの公式により、BSDEとPDEの関係が厳密に確立され、$ u(t,x) = Y_t^{t,x} $ および $ \sigma^*\nabla u(t,x) = Z_t^{t,x} $ が成り立ち、$ u $ が唯一のSobolev解であることが示される。