[論文レビュー] $p$-Laplacian problems involving critical Hardy-Sobolev exponents

Kanishka Perera, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-Laplacian方程式における臨界Hardy-Sobolev指数について、存在性、多重性、分岐に関する結果を確立する。特に、$\lambda \geq \lambda_1$ という困難なケースに注目している。標準的な固有値分解に代わる、特徴的コホモロジー指数および擬似指数理論を用いることで、$N < p^2$ の場合を含む、従来の結果が$\lambda < \lambda_1$ に限られていた範囲を超えた条件下でも非自明解の存在を示している。主な貢献は、$p$-Laplacian作用素に線形構造が欠如しているという問題を克服する、新しい変分的アプローチの構築にある。

ABSTRACT

We prove existence, multiplicity, and bifurcation results for $p$-Laplacian problems involving critical Hardy-Sobolev exponents. Our results are mainly for the case $λ\ge λ_1$ and extend results in the literature for $0 &lt; λ&lt; λ_1$. In the absence of a direct sum decomposition, we use critical point theorems based on a cohomological index and a related pseudo-index.

研究の動機と目的

• 臨界Hardy-Sobolev指数を含む$p$-Laplacian問題の解の存在性と多重性を、$\lambda \geq \lambda_1$ の場合に確立すること。これは、先行研究では十分にカバーされていない領域である。
• 非線形$p$-Laplacian作用素に起因する線形固有空間に基づく古典的リンク定理が適用できないため、エネルギー汎関数に直接和分解がないという問題を克服すること。
• 従来の条件$N \geq p^2$ を超えて存在結果を拡張すること。特に、$N < p^2$ の場合に、新たなスペクトル的および幾何的制約のもとで解の存在を示すこと。
• 固有値$\lambda_k$ の近傍における分岐挙動を分析すること。コンパクト性の閾値未満のミニマックスレベルを構成し、$\lambda$ が$\lambda_k$ から下方に近づくにつれて解が0に収束することを証明すること。

提案手法

• 単位球面上の汎関数$\Psi(u) = \left(\int_\Omega |u|^p\,dx\right)^{-1}$に基づく特徴的コホモロジー指数および擬似指数フレームワークを用い、標準的なジャンルに基づく固有値系列に代わる。
• PereraとSzulkinのインスピレーションを受けて、$\Psi$の下位集合に基づく非標準的リンク構成を用いた臨界点理論を適用し、$p$-Laplacian作用素に起因する線形構造の欠如に対処する。
• Hardy-Sobolev不等式における最良定数$\mu_s$を用いて、コンパクト性閾値$c^* = \frac{p-s}{(N-s)p}\mu_s^{(N-s)/(p-s)}$を定義し、この値未満では$(\text{PS})_c$条件が成り立つことを保証する。
• テスト関数$v_{\varepsilon,\delta}$を用いた構成により、$I_\lambda$の適切な集合上での下界を推定し、ミニマックスレベルがコンパクト性閾値未満にあることを証明する。
• 特徴的コホモロジー指数および擬似指数に基づく臨界点定理（定理2.5）を適用し、$\lambda$ が$\lambda_{k+1}$ の近傍の分岐区間にある場合に、$m$ 組の非自明解$\pm u_j^\lambda$ を得る。
• 不等式$\int_\Omega |u|^p\,dx \leq V_s(\Omega)^{(p-s)/(N-s)} \left(\int_\Omega \frac{|u|^{p^*}}{|x|^s}\,dx\right)^{p/p^*}$を用いて、$L^p$ノルムをHardy-Sobolev半ノルムで制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界Hardy-Sobolev指数を含む$p$-Laplacian問題の存在性および多重性に関する結果を、マウンテンパス幾何が成立しない$\lambda \geq \lambda_1$ の場合にまで拡張可能か？
• RQ2 $p$-Laplacian作用素が線形固有空間を持たない場合、臨界点理論はどのように再構築可能か？これは、古典的リンク定理の適用が不可能であるための課題である。
• RQ3 $N < p^2$ の場合に非自明解の存在を保証する、$N$、$p$、$s$、$\lambda$ に関する新たな条件は何か？これは、従来の結果ではカバーされていない領域である。
• RQ4 固有値$\lambda_k$ の近傍における解集合の挙動は？$\lambda \nearrow \lambda_k$ のとき、解が0に定量的に収束するような分岐が確立可能か？
• RQ5 スペクトルギャップが存在する状況において、特徴的コホモロジー指数および擬似指数フレームワークを用いて、複数の非自明解を構成可能か？

主な発見

• $N \geq p^2$ かつ $\lambda < \lambda_1$ の場合、問題は正の基底状態解を有する。これは、従来の結果を$\lambda < \lambda_1$ の全範囲にまで拡張したものである。
• $\lambda > \lambda_1$ かつ $\lambda$ が固有値でない場合、$N > p^2$ および$(N-p^2)(N-s) > (p-s)p$ を満たすと、非自明解が存在する。この条件では、$s$ が小さい場合に限り$N < p^2$ を許容する。
• $\lambda_{k+1} - \frac{\mu_s}{V_s(\Omega)^{(p-s)/(N-s)}} < \lambda < \lambda_{k+1}$ の区間において、問題は$m$ 組の異なる非自明解のペア$\pm u_j^\lambda$ を有する。$\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ のとき、$u_j^\lambda \to 0$ となるため、$\lambda_{k+1}$ からの分岐が証明される。
• 解は$I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ を満たし、$u_j^\lambda$ の$L^p$ノルムも0に収束する。これは、$W^{1,p}_0(\Omega)$ における強い収束を意味する。
• $N < p^2$ の場合でも、$(N-p^2)(N-s) > (p-s)p$ が成り立つ限り、非自明解の存在が保証される。これは、従来の文献ではカバーされていなかった新しい結果である。
• コンパクト性閾値$c^* = \frac{p-s}{(N-s)p}\mu_s^{(N-s)/(p-s)}$ は、この値未満では$(\text{PS})_c$条件が成り立つことを保証する。構築されたすべてのミニマックスレベルは、この値を厳密に下回るため、Palais-Smale列の収束が保証される。