[論文レビュー] p-Laplacian type equations involving measures

Tero Kilpeläinen|ArXiv.org|Apr 24, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mu$ をRadon測度とし、$\mathcal{A}$ がLeray-Lions条件を満たす形の擬線形楕円型方程式 $-\operatorname{div}\mathcal{A}(x,\nabla u) = \mu$ の解を検討する。非線形ポテンシャル理論および再正規化／エントロピー解の定式化を用いて解の存在と一意性を確立し、特に $p$-容量に関して絶対連続な測度および $p=n$ の臨界ケースにおいて、領域の幾何的条件のもとで一意性を示している。

ABSTRACT

This is a survey on problems involving equations $-\operatorname{div}{\Cal A}(x, abla u)=μ$, where $μ$ is a Radon measure and ${\Cal A}:\bold {R}^n imes\bold R^n o \bold R^n$ verifies Leray-Lions type conditions. We shall discuss a potential theoretic approach when the measure is nonnegative. Existence and uniqueness, and different concepts of solutions are discussed for general signed measures.

研究の動機と目的

• 測度データを含む擬線形方程式の解の存在と一意性を確立すること、特に $p$-ラプラシアン型作用素に対して。
• 古典的解が失敗する場合に、エントロピー解や再正規化解といったより強い解の概念が一意性を保証する役割を明らかにすること。
• 解の正則性および可積分性の性質を、Wolffポテンシャルおよび $p$-容量と関連づけて調査すること。
• 超調和設定における一意性の欠如を、より強い解の概念と構造的仮定を導入することで解決すること。
• 領域の幾何的条件（例えば、一様 $p$-厚さ）の下で、臨界ケース $p = n$ にまで一意性結果を拡張すること。

提案手法

• Wolffポテンシャルを用いて解を特徴づける非線形ポテンシャル理論を用い、解の点での挙動と測度のエネルギー分布を結びつける。
• $T_k(u)$ の切り詰め技術を適用して、$u$ が局所可積分でない場合でも $\mathcal{A}$-超調和関数の弱勾配を定義する。
• $\mathcal{A}$-超調和関数の概念とその比較原理を用いて、ポテンシャル論的意味での解の定義を行う。
• 特に一般の符号付き測度に対して一意性を保証するために、エントロピー解および再正規化解というより強い解の概念を導入する。
• $\mathcal{A}$ に強い単調性および Hölder 継続性の条件を課すことにより、勾配や解の差に $L^p$ 可積分性や有界性の追加仮定のもとで一意性を証明する。
• 最大関数の推定とHodge型分解を用いて、臨界ケース $p = n$ における一意性結果を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたRadon測度 $\mu$ に対して、方程式 $-\operatorname{div}\mathcal{A}(x,\nabla u) = \mu$ が解をもつための条件は何か？
• RQ2 古典的解の概念が一意性を保証できないのはなぜか？また、エントロピー解や再正規化解といったより強い解の概念は、どのように一意性を回復するのか？
• RQ3 Wolffポテンシャルは、測度データを持つ方程式の解の点での挙動をどのように特徴づけるか？
• RQ4 解の一意性および可積分性に関して、臨界ケース $p = n$ と $p < n$ とはどのように異なるか？
• RQ5 $p$-容量に関して絶対連続でない一般のRadon測度に対しても、一意性は確立可能か？

主な発見

• 任意の非負で有限なRadon測度 $\mu$ に対して、すべての $k > 0$ に対して $T_k(u) \in W^{1,p}_0(\Omega)$ を満たす $\mathcal{A}$-超調和解 $u$ が存在し、解が弱い意味で適切に定義されることを保証する。
• $p > 2 - 1/n$ のとき、解 $u$ はすべての $q < \frac{n(p-1)}{n-1}$ に対して $W^{1,q}_0(\Omega)$ に属する。これは次元および $p$ に依存した改善された可積分性を示している。
• $p \leq n$ の一般には一意性が失敗する。例として、$p$-球の原点を除いた領域で $\mu = 0$ であるが $u(x) = |x|^{\frac{p-n}{p-1}} - 1$ である反例が存在する。
• $\mu$ が $p$-容量に関して絶対連続である場合、エントロピー解および再正規化解はともに存在し、一意的である。
• $\mathcal{A}$ に強い単調性および Hölder 継続性の仮定を課すと、二つの再正規化解が、その差の勾配が $L^p$ に属する、または片側有界である場合に一致する。
• 臨界ケース $p = n$ では、一様に $p$-厚い補集合をもつ有界で正則な領域において、$\bigcap_{q < n} W^{1,q}_0(\Omega)$ 内で一意性が成り立ち、さらに $\varepsilon > 0$ に対して $W^{1,n-\varepsilon}_0(\Omega)$ 内でもより強い意味での一意性が成立する。