[論文レビュー] $ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity

Eduardo de Souza Böer, Olı́mpio H. Miyagaki|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^N$ 上の $(p,N)$-Choquard 対数方程式に対して、指数的臨界成長を伴う非線形項を有する非自明解の存在および多重性を、変分法と新たな技術的補題を用いて確立する。Cerami系列の有界性を保証するための新規な補題を導入し、適切な成長および強凸条件のもとで、マウンテン・パス解、グランド・ステート解、対称的マウンテン・パス定理を用いた無限個の解の存在を示す。

ABSTRACT

The present work is concerned with the following version of Choquard Logarithmic equations $ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) extrm{ in } \mathbb{R}^N $ , where $ a, b, λ>0 $, $ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $, $f, g: \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $ are continuous functions that behave like $ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $ at infinity, for $ α>0 $, and that has polynomial growth, respectively, and $ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$. We prove the existence of a nontrivial solution at the mountain pass level and a nontrivial ground state solution. Also, using a version of the Symmetric Mountain-Pass Theorem, we get infinitely many solutions.

研究の動機と目的

• 非線形項に指数的臨界成長を有する $(p,N)$-Choquard 対数方程式に対する非自明解の存在を確立すること。
• 変分法を用いてマウンテン・パスレベルにおける非自明解の存在を証明すること。
• ネハリ多様体上での最小化によりグランド・ステート解の存在を確立すること。
• 対称的マウンテン・パス定理のバージョンを用いて無限個の解の存在を証明すること。
• 変換不変でない空間における有界でないCerami系列の課題を克服するため、Cerami系列の有界性を保証する新しい技術的補題を導入すること。

提案手法

• 適切なソボレフ空間 $X$ 上の $C^1$ 功能 $I$ として定式化された問題を、$(p,N)$-ラプラシアンおよび対数的畳み込み項を含む臨界点問題として扱う。
• マウンテン・パス定理を適用して、マウンテン・パスレベルにおける非自明な臨界点の存在を確立する。
• ネハリ多様体法を用いて、制約下でのエネルギー汎関数の最小化によりグランド・ステート解の存在を証明する。
• 変換不変性の欠如下でもCerami系列の有界性を保証するため、新規な技術的補題（補題3.9）を導入する。
• 偶関数 $I$ に対称的マウンテン・パス定理を適用し、幾何学的に異なる無限個の解を得る。
• モーザー＝トゥリデッジ型不等式および指数的非線形項の漸近的推定を用いて、成長を制御し、コンパクト性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的臨界成長を伴う $(p,N)$-Choquard 対数方程式は、マウンテン・パスレベルにおける非自明解を有するか？
• RQ2 ネハリ多様体上での最小化によって、この方程式に対してグランド・ステート解を特定できるか？
• RQ3 特に変換不変でない空間において、汎関数がCerami条件を満たす条件は何か？
• RQ4 完全なコンパクト性が欠如する状況下でも、対称的マウンテン・パス定理を用いて無限個の解を生成できるか？
• RQ5 対数的畳み込み項の存在は、標準的Choquard方程式と比較して、解の存在および多重性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 方程式に関連する汎関数 $I$ は、マウンテン・パスレベルでCerami条件を満たし、非自明な臨界点の存在を保証する。
• グランド・ステート解は、ネハリ多様体上でのエネルギー汎関数の最小化として存在し、最小エネルギーの非自明解に一致する。
• 対称的マウンテン・パス定理の適用により、幾何学的に異なる無限個の解が存在する。この結果は、新規な有界性補題（補題3.9）に依存する。
• 変換不変性の欠如を克服するため、新規な技術的議論により、Cerami系列の部分列までで有界性が保証される。
• 非線形項およびその原始関数の成長を制御する条件 $(f_1')$--$(f_4)$ および $(g_1)$--$(g_5)$ の下で、解の存在が保証される。
• $(p,N)$-ラプラシアンおよび対数的畳み込み項を一般設定に組み込んだことで、先行研究における指数的成長を伴うChoquard方程式の結果を拡張する。