[論文レビュー] P = NP: Linear programming formulation of the traveling salesman problem

Moustapha Diaby|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2006

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ネットワークフローに基づくアプローチを用いて、巡回セールスマン問題（TSP）の多項式サイズの線形計画法定式化を提示する。主な貢献は、TSPの制約を効率的に捉える、コンactで正確な線形計画法である。この定式化が正当であることが示され、実際の計算でも解けるならば、TSPを多項式時間で解く道筋が得られる可能性がある。

ABSTRACT

In this paper, we present a polynomial-sized linear programming formulation of the Traveling Salesman Problem (TSP). The proposed linear program is a network flow-based model. Numerical implementation issues and results are discussed. (The exposition and proofs are much more detailed in an edition which I wrote in collaboration with Dr. M.H. Karwan in 2012-2014 . That edition is available at this http URL)

研究の動機と目的

• 巡回セールスマン問題（TSP）を正確にモデル化する多項式サイズの線形計画法を開発すること。
• 変数数および制約数を削減しつつ、TSPの制約を捉えるネットワークフローに基づく定式化を提供すること。
• 提案された定式化の数値的実装可能性と実装上の考慮事項を示すこと。
• TSPの多項式時間で解ける線形計画法定式化を基盤として、P = NPの証明に繋がる基盤を築くこと。

提案手法

• 定式化は、TSPの巡回路を有向グラフにおける可能なフローとしてモデル化するネットワークフロー構造を用いる。
• エッジに二値変数と経路走査を表すフロー変数を導入し、接続性と巡回路制約を保証する。
• 部分巡回路除去の制約を、指数的多数の不等式族に依存せず、フローに基づく制約によって実装する。
• 定式化は都市数に対して多項式サイズとなるように設計されており、指数的制約集合を回避する。
• 数値的実装は、標準的なソルバを用いた線形計画法の解法に注力し、数値的安定性とスケーラビリティに配慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TSPは、指数的多数の制約に依存せずに、多項式サイズの線形計画法として定式化可能か？
• RQ2 ネットワークフローに基づく定式化は、すべてのTSP巡回路の制約を保持しつつも、コンパクトなままであるか？
• RQ3 提案された定式化は、標準的なLPソルバを用いて実際の計算で安定的かつ解けるか？
• RQ4 この定式化が正しくかつ多項式時間で解けるならば、P = NPの証明の根拠として機能できるか？

主な発見

• 提案された線形計画法は、TSPインスタンスに含まれる都市数に対して多項式サイズである。
• 定式化は、ネットワークフロー構造を用いて、部分巡回路の除去と接続性を暗黙的に強制する。
• モデルは、部分巡回路除去制約を指数的多数の不等式族に依存せず、フローに基づく制約に統合することで、その必要性を回避する。
• 数値的結果から、この定式化は標準的な線形計画法ソルバで実装可能で解けることが示唆されるが、完全なスケーラビリティはまだ確認されていない。