[論文レビュー] $p$-Operator Spaces and Figá-Talamanca-Herz Algebras

Matthew Daws|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、$L_p$-に基づく構造と$p$-完全有界写像を用いて、$p$-作用素空間の新しい枠組みを導入し、Figà-Talamanca-Herz代数$A_p(G)$ がこの設定において収縮的量子化されたバナッハ代数となることを示している。主な結果は、$A_p(G)$ が$p$-作用素空間代数としてアメーブルであることと、局所コンpakト群$G$ がアメーブルであることの同値性であり、これはRuanの作用素空間的アプローチを$A(G)$ に対して一般化するものである。

ABSTRACT

We study a generalisation of operator spaces modelled on $L_p$ spaces, instead of Hilbert spaces, using the notion of $p$-complete boundedness, as studied by Pisier and Le Merdy. We show that the Figá-Talamanca-Herz Algebras $A_p(G)$ becomes quantised Banach algebras in this framework, and that the cohomological notion of amenability of these algebras corresponds to amenability of the locally compact group $G$. We thus argue that we have presented a generalised of the use of operator spaces in studying the Fourier algebra $A(G)$, in the spirit of Ruan. Finally, we show that various notions of multipliers of $A_p(G)$ (including Herz's generalisation of the Fourier-Stieltjes algebra) naturally fit into this framework.

研究の動機と目的

• Ruanの作用素空間的アプローチを$A(G)$ に対して一般化し、$L_p$-に基づくFigà-Talamanca-Herz代数$A_p(G)$ に適用すること。
• PisierとLe Merdyの研究にインspiredされ、$p$-完全有界性を用いて$A_p(G)$ に自然な$p$-作用素空間構造を定義すること。
• $A_p(G)$ が$p$-作用素空間代数としてアメーブルであることと、その背後にある群$G$ がアメーブルであることの完全一致を確立すること。
• $A_p(G)$ のさまざまな乗算子代数、特にFourier-Stieltjes代数の一般化であるHerzのものも含めて、この$p$-作用素空間枠組みに自然に組み込まれることを示すこと。

提案手法

• PisierとLe Merdyの研究から取り入れた$p$-完全有界性の概念を採用し、作用素空間を$L_2$ から$L_p$ に一般化して$p$-作用素空間を定義する。
• $L_p$-に基づく$SQ_p$-空間上の表現の係数関数として$A_p(G)$ を実現することで、$A_p(G)$ に$p$-作用素空間構造を導入する。
• $p$-作用素空間の射影的テンソル積を用いてテンソル積$A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$ を定義し、$A_p(G \times H)$ に同型であることを示す。
• $A_p(G)$ の$p$-完全有界乗算子を特徴付け、それらをHerzの$B_p(G)$ と関連づける。特にアメーブルな場合を重点的に考察する。
• コホノロジー的技法を用いて、$p$-作用素空間設定における$A_p(G)$ のアメーブル性を定義・分析する。
• Rundeによる$B_p(G)$ の$A_p(G)$ の乗算子代数としての構成を用い、$G$ がアメーブルであるとき、$\mathcal{M}_{cb}(A_p(G)) = B_p(G)$ が等長的に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A_p(G)$ が$p$-作用素空間代数としてアメーブルであることと、群$G$ がアメーブルであることの一致は成立するか？
• RQ2 $p$-作用素空間設定において、乗算子代数$\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$ は自然にHerzの$B_p(G)$ と同一視できるか？
• RQ3 $A_p(G)$ における$p$-作用素空間構造は、従来の$A_p(G)$ における作用素空間構造と比べて、収縮性および自然性の観点でどのように異なるか？
• RQ4 $p$-作用素空間枠組みは、$A(G)$ の双対性およびテンソル積の性質を$A_p(G)$ へどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 $A_p(G)$ における$p$-作用素空間構造は、特定の表現に依存するものか、それとも固有の性質を有するイントリニックなものか？

主な発見

• $A_p(G)$ における$p$-作用素空間構造は、従来の方法が有界な積しか得られないのに対し、収縮的である。
• $p$-作用素空間枠組みのもとで、代数$A_p(G)$ は収縮的量子化バナッハ代数となる。
• $A_p(G)$ が$p$-作用素空間代数としてアメーブルであることと、群$G$ がアメーブルであることの同値性が成り立つ。
• アメーブルな$G$ に対して、$p$-完全有界乗算子代数$\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$ は等長的に$B_p(G)$ と一致する。これは、Herzのフーリエ・スティルチェス代数の一般化である。
• $A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$ は等長的同型で$A_p(G \times H)$ に一致する。これは、$A(G)$ における重要な性質を$A_p(G)$ の設定へ拡張したものである。
• この枠組みは自然にHerzの乗算子理論を組み込み、$A_p(G)$ とその乗算子代数の間のより深い構造的整合性を示唆している。