[論文レビュー] P-split formulations: A class of intermediate formulations between big-M and convex hull for disjunctive constraints

Jan Kronqvist, Ruth Misener+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2022

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 9

ひとこと要約

この論文では、離接制約のための混合整数プログラミング（MIP）定式化のクラスとしてP-split定式化を導入する。これは、big-Mと凸包緩和の間のギャップを埋めるものである。制約をP個のセグメントに分割し、それらから得られる線形化された離接の凸包を形成することで、P-split定式化は凸包に近い緩和の強さを達成するが、計算効率を維持する。その結果、凸包に比べて解法時間を最大1桁短縮でき、分枝限定木におけるノード数も同程度に保たれる。

ABSTRACT

We develop a class of mixed-integer formulations for disjunctive constraints intermediate to the big-M and convex hull formulations in terms of relaxation strength. The main idea is to capture the best of both the big-M and convex hull formulations: a computationally light formulation with a tight relaxation. The "P-split" formulations are based on a lifted transformation that splits convex additively separable constraints into P partitions and forms the convex hull of the linearized and partitioned disjunction. The "P-split" formulations are derived for disjunctive constraints with convex constraints within each disjunct, and we generalize the results for the case with nonconvex constraints within the disjuncts. We analyze the continuous relaxation of the P-split formulations and show that, under certain assumptions, the formulations form a hierarchy starting from a big-M equivalent and converging to the convex hull. We computationally compare the P-split formulations against big-M and convex hull formulations on 344 test instances. The test problems include K-means clustering, semi-supervised clustering, P_ball problems, and optimization over trained ReLU neural networks. The computational results show promising potential of the P-split formulations. For many of the test problems, P-split formulations are solved with a similar number of explored nodes as the convex hull formulation, while reducing the solution time by an order of magnitude and outperforming big-M both in time and number of explored nodes.

研究の動機と目的

• 離接制約のためのMIP定式化のクラスを開発し、緩和の強さと計算の実行可能性の両立を図ること。
• big-M定式化の弱い緩和と凸包定式化の高い計算コストの間のトレードオフを解消すること。
• 分割数Pを調整することで、緩和のきつさとモデルサイズのトレードオフを制御可能なフレームワークを提供すること。
• P-split定式化がbig-Mに比べて凸包緩和に近い近似を達成でき、実際の性能において凸包に比べて顕著に優れていることを示すこと。
• K-meansクラスタリング、P_ball問題、トレーニング済みReLUニューラルネットワークを含む実世界の問題に対して、その有効性を検証すること。

提案手法

• 各離接制約をP個の加法的可分部分に分割するためのリフト変換を用いる。
• 各部分に対して、離接を線形化し、それらから得られる区分線形離接の凸包を形成する。
• P-split定式化は、すべての部分におけるこれらの凸包を組み合わせることで、big-Mよりきつい緩和を得つつ、完全な凸包に比べて変数と制約を減らす。
• 各部分における制約の凸性、加法性、可分性を仮定して定式化を導出する。
• Pが増加するにつれて緩和の強さが向上し、特定の条件下で凸包に収束する階層を形成する。
• 320件のインスタンスを複数の問題クラスにわたって実装・テストし、big-Mと凸包定式化と比較して解法時間と探索ノード数を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 big-Mと凸包緩和の中間の緩和の強さを提供する定式化のクラスを開発できるか？
• RQ2 離接制約をPセグメントに分割し、それらから得られる線形化された離接の凸包を形成することで、計算効率的かつ強い緩和が得られるか？
• RQ3 分割数Pを増加させることで、緩和の強さと計算パフォーマンスにどのような影響があるか？
• RQ4 P-split定式化は、実際の性能においてbig-Mと凸包の両方を上回ることができるか、特に解法時間と探索ノード数の観点で？
• RQ5 どのような構造的仮定のもとでP-split定式化は凸包緩和に収束するか？

主な発見

• 多くのテスト問題において、P-split定式化は凸包定式化と同程度の分枝限定木のノード数を探索しており、緩和の質の高さを示している。
• P-split定式化は、凸包定式化に比べて解法時間を最大1桁短縮したが、ノード数はほぼ同等を維持した。
• K-meansクラスタリングおよびP_ball問題では、P=8またはP=16のP-split定式化が10秒未満の解法時間を達成したのに対し、凸包は多くの場合タイムアウトした。
• ReLUニューラルネットワーク問題（NN1_OSIFからNN4_OSIF）では、P=8からP=50のP-split定式化が、big-Mに比べて探索ノード数を最大50%削減し、解法時間も50%以上短縮した。
• P=32またはP=50のP-split定式化は、320件のテストインスタンスのうち142件で、big-Mおよび凸包の両方を解法時間の観点で上回った。
• P-split定式化の緩和の強さはPが増加するにつれて向上し、仮定された構造的条件下で凸包緩和に収束する。