[論文レビュー] $p$-stabilization in higher dimension

Pascal Boyer|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Kottwitz-Harris-Taylor型の志村多様体における完備コホモロジーにおける $p$-安定化を用いて、同一の重さにおける退化型およびトムペッド型の自己形式的表現の間の新しい自己形式的合同式を確立する。$l$ におけるレベル上昇を許容することで、$l$ を法とする弱い合同関係を持つトムペッド型表現を構成し、Ribet型の合同式を高ランク群へ拡張し、Selmer群における非分解ガロア拡大のコホモロジー的メカニズムを提供する。

ABSTRACT

Using $l$-adic completed cohomology in the context of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type attached to some fixed similitude group $G$, we prove, allowing to increase the levet at $l$, some new automorphic congruences between any degenerate automorphic representation with a non degenerate one of the same weight.

研究の動機と目的

• 完備コホモロジーを用いて、モジュラー形式のRibetの合同式手法を高ランク再帰的群へ一般化すること。
• 同一の重さ、一つは退化型で一つはトムペッド型の弱い合同関係を持つ自己形式的表現を $l$ を法として構成すること。
• 完備コホモロジーを用いた $p$-安定化により、Selmer群における非分解ガロア拡大のコホモロジー的メカニズムを提供すること。
• 通常の $p$-安定化に類似する形で、$l$ におけるレベル上昇を許容するコホモロジーのねじれ類の理論を高ランクに拡張すること。
• シミリチュード群 $G$ に対して、符号 $(1,d-1), (0,d), \dots, (0,d)$ の文脈において、自己形式的合同式を構成する相対的かつ柔軟な枠組みを確立すること。

提案手法

• シミリチュード群 $G$ に関連するKottwitz-Harris-Taylor志村多様体の $l$-進完備コホモロジーを用いる。
• perverse ホッジ層および分解定理の理論を適用して、さまざまな切り捨てレベル $t$ におけるコホモロジー群 $H^i_{I^l,\xi}(t)_{\mathfrak{m}}$ を分析する。
• 層の短完全系列から得られるスペクトル系列および長完全系列を用いて、異なるレベルにおけるコホモロジー群の関係を確立する。
• 局所系統 $\mathcal{F}_\xi(\mathds{1}_v,t)$ 及びその中間拡張 $^p j^{=t}_{!*}$ の構造を用いて、ねじれおよび可除性を分析する。
• Emertonの完備コホモロジーによる局所-グローバル整合性の原理を適用し、自己形式的表現間の合同関係を検出する。
• $H^i_{I^l,\xi}(h)_{\mathfrak{m}}$ が $h \geq s_0$ で自由であるという仮定に依拠し、$H^1_{I^l,\xi}(*,s_0-1)_{\mathfrak{m}}$ におけるねじれの非自明性から矛盾を導出し、コホモロジーの非自明性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク設定において、完備コホモロジーを用いて、同一の重さの退化型およびトムペッド型表現の間の自己形式的合同式を構成できるか？
• RQ2 $l$ におけるレベル上昇は、古典的モジュラー形式における $p$-安定化に類似して、このような合同式の構成をどのように可能にするか？
• RQ3 Harris-Taylor perverse ホッジ層のコホモロジーにおけるねじれは、非分解ガロア拡大を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 この方法により、制御された退化深さおよびレベル構造を持つ弱い合同関係を持つ表現を生成できるか？
• RQ5 レベル $l$ が変化しない（$I'_l = I_l$）状態を保ちながら、$l$ を法として合同関係を達成するためのコホモロジー的基準はあるか？

主な発見

• 本稿は、与えられた退化型 $\Pi$ と同一の重さ $\xi$ を持つ、$l$ を法として弱い合同関係にあるトムペッド型自己形式的表現 $\Pi'$ の存在を証明する。
• $\Pi'$ は、退化深さが正確に 1 であり、$(I')^l = I^l$ を満たすレベル $I'$ を持つことが示されている。
• この構成は、$H^0_{I^l,\xi}(s_0)_{\mathfrak{m}}$ の非消滅性および $H^1_{I^l,\xi}(*,s_0-1)_{\mathfrak{m}}$ の非自明なねじれに依存しており、ねじれが自明であれば矛盾が生じる。
• 主な矛盾は、すべての $h \geq s_0$ に対して $H^i_{I^l,\xi}(h)_{\mathfrak{m}}$ が自由であると仮定した場合に生じる。この仮定は、アフィン多様体上のコホモロジー群に非自明なねじれを生じさせ、コホモロジーの消滅を破る。
• この結果は、Eisenstein 級数がレベル上昇後に尖点型になることと類似した、$p$-安定化の高次元版と解釈される。
• この方法により、$\Pi$ の $L$-関数の特別値を介して、適切なSelmer群に属する非分解ガロアモジュール拡大のコホモロジー的実現が得られる。