[論文レビュー] p-Summing Multiplication Operators, dyadic Hardy Spaces and atomic Decomposition

Paul F. X. Müller, Johanna Penteker|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハール係数と原子分解を用いて、dyadic Hardy空間 $H^p$ ($0 < p \leq 2$) 上の $p$-総和可能な乗法作用素のピエツヒ測度を構成的に決定する。重み列 $\omega_I$ の明示的公式を提供し、因子分解 $\|\mathcal{M}_u\varphi\|_{H^p} \leq C\|u\|_{H^p} \left(\sum |\varphi_I|^2 \omega_I\right)^{1/2}$ において、ピジエの拡張公式 $H^p = (X_0)^{1-\theta}(H^2)^\theta$ の構成的証明をもたらす。ここで $X_0$ は補間格子である。

ABSTRACT

We constructively determine the Pietsch measure of the 2-summing multiplication operator \[\mathcal{M}_u:\ell^{\infty} ightarrow H^p, \quad (φ_I) \mapsto \sum φ_Ix_Ih_I. \] Our construction of the Pietsch measure for the multiplication operator $\mathcal{M}_u$ involves the Haar coefficients of $u$ and its atomic decomposition.

研究の動機と目的

• dyadic Hardy 空間 $H^p$ ($0 < p \leq 2$) 上の $p$-総和可能な乗法作用素のピエツヒ測度の構成的決定を提供すること。
• ピジエの補間公式 $H^p = (X_0)^{1-\theta}(H^2)^\theta$ の構成的証明を確立すること。ここで $X_0$ は $H^p$ と $H^2$ に関連する補間格子である。
• この構成をベクトル値 Hardy 空間 $H^p_X$ およびトライベル＝リツォルキン空間 $f^q_p$ に拡張すること。
• 重み列 $\omega_I$ の明示的公式を、$u \in H^p$ のハール係数 $x_I$ を用いて導出すること。

提案手法

• 方法は、$u \in H^p$ のハール係数 $x_I$ を用いて、原子分解技術により、$\omega = (\omega_I)_{I \in \mathcal{D}}$ を明示的に構成する。
• dyadic martingale の文脈において、ラデマッハ和の $L^p$-ノルムを制御するために、カハーネの不等式と収縮原理を用いる。
• dyadic interval の構造と、dyadic cube 上に台を持つ原子への関数の分解を用いて、乗法作用素出力の $H^p$-ノルムを推定する。
• $p$-総和可能な作用素の理論と、重み付き $\ell^2$-列を通した作用素の因子分解を用いて、明示的な重み列 $\omega_I$ を導出する。
• ベクトル値 $H^p_X$ 空間への拡張では、$X$-値ハール級数に同じ原則を適用し、$X$-値版の $\mathbb{S}^p$-汎関数を用いる。
• トライベル＝リツォルキン空間に対しては、同じ重みに基づく因子分解を用いて、補間格子 $X_0$ を用いた Calderón 積構成を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $u \in H^p$ のハール係数から、$\mathcal{M}_u: \ell^\infty \to H^p$ の $2$-総和可能な乗法作用素のピエツヒ測度を明示的に構成できるか？
• RQ2 この構成が、ピジエの補間公式 $H^p = (X_0)^{1-\theta}(H^2)^\theta$ の構成的証明をもたらすか？
• RQ3 この方法をベクトル値 Hardy 空間 $H^p_X$ およびトライベル＝リツォルキン空間 $f^q_p$ に拡張できるか？
• RQ4 $\|\mathcal{M}_u\varphi\|_{H^p} \leq C\|u\|_{H^p} \left(\sum |\varphi_I|^2 \omega_I\right)^{1/2}$ を満たす重み列 $\omega_I$ の明示的形は何か？
• RQ5 $u \in H^p$ の原子分解を用いて、重み列 $\omega$ の $\ell^1$-ノルムに対する境界を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、$u \in H^p$ のハール係数 $x_I$ を用いた明示的公式により、$\mathcal{M}_u: \ell^\infty \to H^p$ の $2$-総和可能な乗法作用素のピエツヒ測度 $\omega = (\omega_I)_{I \in \mathcal{D}}$ を構成的に決定する。
• 重み列 $\omega_I$ は $\sum_{I \in \mathcal{D}} \omega_I \leq 1$ を満たし、因子分解 $\|\mathcal{M}_u\varphi\|_{H^p} \leq C\|u\|_{H^p} \left(\sum |\varphi_I|^2 \omega_I\right)^{1/2}$ を保証する。
• この構成は、$\theta = 2/p$ であるとき、$H^p = (X_0)^{1-\theta}(H^2)^\theta$ の構成的証明をもたらす。ここで $X_0$ は $H^p$ と $H^2$ の補間格子である。
• ベクトル値 Hardy 空間 $H^p_X$ に対しては、$X$-値ハール級数にこの方法を拡張し、重み列 $\omega_I$ が $X$-値 $\mathbb{S}^p$-汎関数に依存する。
• トライベル＝リツォルキン空間 $f^q_p$ の場合、同じ重みに基づく因子分解を用いて、Calderón 積 $f^q_p = (X_0)^{1-\theta}(f^q_q)^\theta$ を構成する。
• この方法により、和の $H^p_X$-ノルムを制御する定量的境界 $\left(1 + 4^{1/p} \sum_{\ell=1}^\infty 2^{-2\ell / (p(4\llbracket\mathcal{E}\rrbracket + 1)))}\right)$ が得られる。