[論文レビュー] P-Tensors, P$_0$-Tensors, and Tensor Complementarity Problem

Weiyang Ding, Ziyan Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、偶数次および奇数次のテンソルに対して一様な定義を用いてPテンソルおよびP₀テンソルを導入し、古典的なP行列の概念を高次テンソルへと拡張する。Pテンソルを用いたテンソル補完問題（TCP）は空でなくコンパクトな解集合を持つことが証明され、TCP理論の基礎的結果を確立するとともに、正定値テンソル、Mテンソル、対角優勢で正の対角成分をもつテンソルといった主要なテンソルクラスを統一的に扱える。

ABSTRACT

The concepts of P- and P$_0$-matrices are generalized to P- and P$_0$-tensors of even and odd orders via homogeneous formulae. Analog to the matrix case, our P-tensor definition encompasses many important classes of tensors such as the positive definite tensors, the nonsingular M-tensors, the nonsingular H-tensors with positive diagonal entries, the strictly diagonally dominant tensors with positive diagonal entries, etc. As even-order symmetric PSD tensors are exactly even-order symmetric P$_0$-tensors, our definition of P$_0$-tensors, to some extent, can be regarded as an extension of PSD tensors for the odd-order case. Along with the basic properties of P- and P$_0$-tensors, the relationship among P$_0$-tensors and other extensions of PSD tensors are then discussed for comparison. Many structured tensors are also shown to be P- and P$_0$-tensors. As a theoretical application, the P-tensor complementarity problem is discussed and shown to possess a nonempty and compact solution set.

研究の動機と目的

• 偶数次および奇数次のテンソルに対して、偶数次と奇数次の両方に適用可能な一様な定式化を用いて、P行列概念を高次テンソルへ一般化すること。
• P行列が持つ重要な性質を保ちつつ、正定値（PSD）テンソルを奇数次のケースへ拡張できるように、PテンソルおよびP₀テンソルを定義すること。
• Pテンソルを用いたテンソル補完問題（TCP）が非空かつコンパクトな解集合を持つことを確立し、理論的可解性を保証すること。
• P₀テンソルと、非負性、完全非負性、二重非負性など、PSDテンソルの他の拡張との関係を同定すること。
• 正定値テンソル、Mテンソル、Hテンソル、対角優勢で正の対角成分をもつテンソルといった代表的な構造的テンソルが、Pテンソルの特別なケースであることを示すこと。

提案手法

• 任意の非ゼロベクトル x ∈ ℝⁿ に対して、ある添字 i が存在し、xi(𝒜x^{m−1})_i > 0 を満たすという条件により、Pテンソルの一様な定義を提示する。
• P₀テンソルは同様に弱不等式を用いて定義する：すべての i に対して xi(𝒜x^{m−1})_i ≥ 0 であり、少なくとも一つの i に対して厳密不等式が成り立つ。
• 写像 x ↦ 𝒜x^{m−1} の斉次性を用いて、Pテンソル条件下でのテンソル補完問題（TCP）の解集合を分析する。
• 固定点補題（補題6.1）を適用し、𝒜 がPテンソルである場合、TCP(𝒜, q) の解集合が非空かつコンパクトであることを示す。
• すべてのPテンソルが 𝒜x^{m−1} > 0 を満たす正のベクトル x > 0 をもつことから、PテンソルがSテンソルの真部分集合であることを示す。
• テンソル錐と、PSDテンソル、非負性テンソル、完全非負テンソルなどの他の特別なテンソルクラスとの関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P行列の概念を、偶数次と奇数次の両方に適用可能な形で高次テンソルへ拡張することは可能か？
• RQ2 Pテンソルを用いたテンソル補完問題（TCP）は、常に非空かつコンパクトな解集合を持つのか？
• RQ3 P₀テンソルは、特に奇数次のケースにおいて、他の正定値（PSD）テンソルの拡張（非負性、完全非負性、二重非負性など）とどのように関係しているか？
• RQ4 正定値テンソル、Mテンソル、対角優勢で正の対角成分をもつテンソルといった代表的な構造的テンソルは、Pテンソルの特別なケースとして特定できるか？
• RQ5 Pテンソルを用いて、高次導関数を介した多変数関数の局所最適性を特徴づけることは可能か？

主な発見

• Pテンソルを用いたテンソル補完問題（TCP）は、任意の q に対して非空かつコンパクトな解集合を持つ。これは、理論的可解性を保証する。
• PテンソルはSテンソルの真部分集合である。すべてのPテンソルは、x > 0 かつ 𝒜x^{m−1} > 0 を満たす解ベクトルをもつ。
• 偶数次対称正定値（PSD）テンソルは、ちょうど偶数次対称P₀テンソルに一致する。P₀テンソルにより、PSDクラスが奇数次のケースへ拡張される。
• 正定値テンソル、非特異Mテンソル、正の対角成分をもつ非特異Hテンソル、対角優勢で正の対角成分をもつテンソルといった、多くの重要な構造的テンソルがPテンソルの特別なケースである。
• C³関数の3階導関数テンソルがPテンソルであるのは、勾配とヘッセ行列が点でゼロとなる場合に限る。このとき、十分小さい α > 0 と d > 0 に対して、f(x + αd) > f(x) > f(x − αd) が成り立つ。
• P₀テンソルは、奇数次のテンソルへ向けたPSDテンソルの概念の自然な拡張を提供し、奇数次の対称テンソルに対しても適切に一般化される。