[論文レビュー] $p$-th Clustering coefficients $C_{p}$ and Adjacent Matrix for Networks: Formulation based on String

Norihito Toyota|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Complex Network Analysis Techniques参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、隣接行列を用いて青山のストリング形式を再定式化し、R行列形式を介して一般化された $q$-次のクラスタリング係数を導入する。これにより、ネットワーク内のループ構造の体系的解析が可能となり、スケールフリーネットワークにおいて $\gamma = 2$ の場合、二重の分離度は達成されないことが判明した。代わりに四重の分離度が必要であり、従来の結果に反する。標準的なネットワークモデルにおける一貫性の確認により、手法の妥当性が検証された。

ABSTRACT

The phenomenon of six degrees of separation is an old but interesting problem. The considerations of the clustering coefficient reflecting triangular structures and its extension to square one to six degrees of separation have been made\cite{Newm21}. Recently, Aoyama\cite{Aoyama} has given some considerations to this problem in networks without loops, using a sort of general formalism, "string formalism". In this article, we describe relations between the string formulation proposed by Aoyama and an adjacent matrix. Thus we provided a reformulation of the string formulation proposed by \cite{Aoyama} to analyze networks. According to it, we introduced a series of generalized $q$-$th$ clustering coefficients. The available rules between diagrams of graphs and formulae are also given based on the formulation. Next we apply the formulation to some subjects in order to mainly check consistency with former studies. By evaluating the clustering coefficient for typical networks studied well earlier, we confirm a validity of our formulation. Lastly we applied it to the subject of two degrees of separation.

研究の動機と目的

• 隣接行列を用いた青山のストリング形式の再定式化を通じて、ネットワーク構造の体系的分析を可能にする。
• 一般化された $q$-次のクラスタリング係数を導入し、ネットワーク内のループ構造の複雑さを定量化するためのツールとする。
• 従来のネットワークモデルおよび先行研究との比較を通じて、新たな形式の妥当性を検証する。
• スケールフリーネットワークにおける二重分離度の実現可能性を、度数分布の変動に応じて調査する。
• 今後の $p$-次の分離度の解析の基盤を築くこと、ならびにその依存関係がネットワークトポロジーおよびクラスタリングに与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 隣接行列 $A$ から導かれる $R$-行列を導入し、これによりネットワークの接続性およびループ構造を記述する。
• $R^n$ 行列の展開を用いて、長さ $n$ のパスを体系的に列挙し、各項をファインマン図に類似たグラフ図式として解釈する。
• ネットワーク内に存在する $q$-サイクルの数に基づいて、一般化された $q$-次のクラスタリング係数を定義し、標準的なクラスタリング係数を拡張する。
• ランダム、ポアソン、正規、およびスケールフリーネットワークを、度数分布を変化させながら適用する。
• ミルグラム条件を評価するため、$M_p/N$ および $A^p$ のゼロ要素の割合を分析し、$p$ 分離度における接続性を評価する。
• $R^n$ 項の図式的解釈を用いて、$n$ が大きい場合の将来の解析的および計算戦略を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング形式は、隣接行列を用いて再定式化可能であり、これにより体系的なネットワーク解析が可能になるか？
• RQ2 一般化された $q$-次のクラスタリング係数は、$R$-行列形式からどのように導かれるのか。また、それらはループ構造の特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 この形式は、ランダムおよびスケールフリーネットワークなどの標準的ネットワークモデルに対して、既知の結果を再現するか？
• RQ4 スケールフリーネットワークにおいて $\gamma = 2$ の場合、二重分離度を達成するために必要な臨界平均次数 $\langle k\rangle$ は何か？
• RQ5 特にスケールフリーネットワークにおいて、ループの存在がすべてのノードを接続するために必要な分離度に与える影響は何か？

主な発見

• R行列形式は、クラスタリング係数を $q$-次に一般化し、ネットワーク内での高次ループ構造の定量化を可能にした。
• スケールフリーネットワークにおいて $\gamma = 2$ の場合、二重分離度は達成できないことが形式によって示された。代わりに四重分離度が必要である。これは青山の以前の結論と矛盾する。
• $A^2$ のゼロ要素の割合は、この結果を裏付けている。$\gamma = 2$ の場合、約75%のノードしか2ステップ以内に接続されていないことが示唆される。
• ポアソンまたは正規度数分布を有するランダムネットワークでは、$M_2$ は $\langle k\rangle^2$ にほぼ比例して増加し、2分離度においてはループ効果が無視できることが示された。
• ランダムネットワークにおいて $N \sim 10^8$（米国人口に相当）の分離度を二重に達成するための臨界平均次数 $\langle k\rangle$ は $\sim 10^4$ と推定されたが、実際の推定値 $\langle k\rangle \approx 290$ を考えると、現実的ではないとされた。
• この形式は、$p$-次の分離度を解析する一貫性のある枠組みを提供しており、既知のネットワーク挙動および先行研究との比較により、妥当性が検証された。