[論文レビュー] p-wave phase shift and scattering length of $^6$Li

Sandeep Gautam, D. Angom|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2008

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変数位相法とWKB近似を用いて、$^6$Liのp波散乱長を計算し、p波解における定数の半径依存性に起因する課題に対処している。計算結果として、$-45a_0$のp波散乱長が得られ、数値積分とセシウム同位体との整合性チェックにより妥当性が確認され、超低温フェルミ系に対して信頼できる値を提供する。

ABSTRACT

We have calculated the p-wave phase shifts and scattering length of $^6$Li. For this we solve the $p$ partial wave Schrödinger equation and analyze the validity of adopting the semiclassical solution to evaluate the constant factors in the solution. Unlike in the $s$ wave case, the semiclassical solution does not provide unique value of the constants. We suggest an approximate analytic solution, which provides reliable results in special cases. Further more, we also use the variable phase method to evaluate the phase shifts. The p-wave scattering lengths of $^{132}$Cs and $^{134}$Cs are calculated to validate the schemes followed. Based on our calculations, the value of the $p$ wave scattering length of $^6$Li is $-45a_o$.

研究の動機と目的

• 超低温フェルミ混合系をモデル化するための主要パラメータである$^6$Liのp波散乱長を計算すること。
• p波におけるWKB定数の半径依存性に起因する位相シフトパラメータの決定における課題に対処すること。
• 既知の系（$^{132}$Csおよび$^{134}$Cs）を用いて数値スキームの妥当性を検証し、$^6$Liの計算に対する信頼性を確保すること。
• フェルミ混合系における特異な超流動相をモデル化する上で極めて重要なp波散乱長の堅牢な推定値を提供すること。

提案手法

• p波径方向シュレーディンガー方程式を、$kR \ll 1$、$kR < 1$、$kR \approx 1$の三つの径方向領域に分け、漸近的およびWKB近似を用いて解く。
• WKB法を用いて径方向波動関数における定数比$A/B$を推定し、p波におけるその半径依存性を認識する。
• 分散係数$C_6$が大きい場合に有効な$A/B$の近似解析的解を導入する。
• 変数位相法（VPM）を用いて位相方程式を数値積分し、低$ k $における精度を確保するため、適応的相対許容誤差（$10^{-5}$から$10^{-7}$）を用いる。
• $k \to 0$極限での散乱長を抽出するために、$-\tan(\eta_1)/k^3$と$-\tan(\eta_1)/k^2$の最小二乗フィッティングを実施する。
• 既知の傾向と一致することを確認するため、$^{132}$Csおよび$^{134}$Csのp波散乱長を計算して手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのように$^6$Liのp波散乱長が求められ、他のアルカリ金属と比較してどう異なるか？
• RQ2 p波散乱におけるWKB定数の半径依存性が、位相シフト計算の信頼性にどのように影響するか？
• RQ3 $A/B$の近似解析的解が$^6$Liに対して正確な結果をもたらすか、それとも変数位相法のような数値的手法が不可欠か？
• RQ4 数値積分における相対許容誤差の選択が、低$ k $における散乱長の収束にどのように影響するか？
• RQ5 変数位相法が、$^6$Liにおけるp波位相シフトに対して、どれほど安定かつ正確に機能するか？

主な発見

• 変数位相法を用いて、$^6$Liのp波散乱長は$-45a_0$に計算された。
• $k \to 0$において位相シフトが$31.46$に安定化し、数値積分の収束が確認された。
• 値$-\tan(\eta_1)/k^3$は低$ k $で約$-92,660$に安定化し、その立方根から$a_1 = -45a_0$が得られた。
• $0.0005 \leq k \leq 0.005$の範囲で$-\tan(\eta_1)/k^2$の最小二乗フィッティングにより得られた勾配は$-92,600$であり、立方根をとると$-45a_0$と整合的であった。
• $A/B$の近似解析的手法は、$^6$Liに対して$43.74\%$の誤差を示し、この系に対してはその信頼性が限定的であることが判明した。
• 相対許容誤差を適応的に制御（$k \leq 0.005$で$10^{-7}$）した変数位相法により、$k = 0.0005$まで安定かつ正確な位相シフト計算が可能となった。