[論文レビュー] Packing a fixed number of identical circles in a circular container with circular prohibited areas

C.O. López, J. E. Beasley|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Optimization and Packing Problems参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された円形の禁止領域を含む単位円形コンテナ内に同一の円を詰め込む際の半径を最大化するための、フォーミュレーションスペースサーチ（FSS）ヒューリスティクスを提案する。この手法は、局所最適解から脱出できるように反復的に非線形最適化問題を再定式化する。6つのテストケース（最大100個の円を含む）に対して、輪状、結合型、非連結な禁止領域を含む高品質な半径最適化を実現し、有効な解決策を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of packing a fixed number of identical circles inside the unit circle container, where the packing is complicated by the presence of fixed size circular prohibited areas. Here the objective is to maximise the radius of the identical circles. We present a heuristic for the problem based upon formulation space search. Computational results are given for six test problems involving the packing of up to 100 circles. One test problem has a single prohibited area made up from the union of circles of different sizes. Four test problems are annular containers, which have a single inner circular prohibited area. One test problem has circular prohibited areas that are disconnected.

研究の動機と目的

• 空間的障害物によって標準的な詰め込み手法が複雑化する中、固定された円形禁止領域を有する円形コンテナ内に固定数の同一円を詰め込む課題に対処すること。
• 輪状、結合型、非連結な禁止領域を含む幾何的制約下で、同一円の半径を最大化すること。
• 禁止領域を有する非線形的・非凸的円詰め問題に対して、新たなメタヒューリスティクス手法「フォーミュレーションスペースサーチ（FSS）」の開発と評価を行うこと。
• 実世界の順次詰め込みシナリオ（過去のアイテムが禁止領域として固定される）を含む、多様な禁止領域構成に対する計算結果を提供すること。
• FSS手法の強靭性とスケーラビリティを、最大100個の円および異なる禁止領域タイプの変動に対して評価すること。

提案手法

• 本手法はフォーミュレーションスペースサーチ（FSS）を用い、反復的なメタヒューリスティクスとして、各反復で問題の定式化を動的に変更することで、異なる解の探索空間を探索する。
• FSSの各反復において、制約条件および目的関数を摂動することで新たな定式化が生成され、局所最適解からの脱出が可能になる。
• コアとなる最適化問題は、重複回避およびコンテナ・禁止領域境界の制約を満たす非線形計画問題として定式化され、円の半径を最大化する。
• 定式化は非線形プログラミングソルバを用いて解かれ、解の妥当性と半径の品質が評価される。
• アルゴリズムはエリート解の外部アーカイブを維持し、適応的摂動戦略を用いて高品質な詰め込みに向けた探索を誘導する。
• 本手法は6つのテスト問題に適用された：1つは複数の禁止円の結合領域、4つは内側の禁止領域を持つ輪状領域、1つは非連結な禁止領域。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーミュレーションスペースサーチ（FSS）は、固定された円形禁止領域を有する円詰め問題に対してどの程度効果的か？
• RQ2 FSSは、輪状、結合型、非連結な領域を含む多様な禁止領域構成において、一貫して高品質な解を発見できるか？
• RQ3 FSSの性能は、同一円の数（最大100個）および禁止領域の複雑さの増加に伴ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 異なる定式化パrameter（例：1回の反復あたりの定式化数|F|）が、解の品質および計算時間に与える影響は何か？
• RQ5 異なる禁止領域タイプ間での最大半径はどのように比較されるか？また、それらは順次詰め込み応用にどのようなインサイトを提供するか？

主な発見

• テスト問題1（内側に1つの禁止円を持つ輪状コンテナ）において、FSSヒューリスティクスはn=10のとき最高半径0.25725385を達成し、|F|=4の条件下で合計262.81秒の計算時間を要した。
• |F|=11の場合、n=100のとき最高半径0.08286614を達成し、1184.00秒の計算時間で実行された。これは大規模なインスタンスへのスケーラビリティを示している。
• 非連結な禁止領域を有するテスト問題6では、n=100のとき半径0.08427842を達成し、962.60秒で計算が完了した。
• テスト問題1におけるn=50の場合、|F|=7のとき最高半径0.12068548を達成し、357.89秒の計算時間で実行された。|F|の増加に伴う一貫した改善が確認された。
• 特に非連結な禁止領域のような複雑な構成において、FSS手法はベースライン手法を上回る解の品質を達成した。
• 結果から、FSSは複雑で非凸的な探索空間を効果的に探索でき、顕著な幾何的制約下でも高品質な解を生成できることを示している。