[論文レビュー] Packing and Covering a Polygon with Geodesic Disks

Ivo Vigan|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多角形内での最短経路（geodesic）距離を用いたgeodesicディスクによるパッケージングとカバーイングの多項式時間近似アルゴリズムを提示する。単位ディスクのパッケージングとカバーイングには2-近似、k個のディスクを用いた最小半径の最大化には4-近似が達成され、単純多角形を2つのgeodesicディスクで最小化された最大半径でカバーする問題に対しては正確なO(n⁸ log n)時間アルゴリズムが得られる。これらの問題は、穴あき多角形ではNP困難であることが示された。

ABSTRACT

Given a polygon $P$, for two points $s$ and $t$ contained in the polygon, their \emph{geodesic distance} is the length of the shortest $st$-path within $P$. A \emph{geodesic disk} of radius $r$ centered at a point $v \in P$ is the set of points in $P$ whose geodesic distance to $v$ is at most $r$. We present a polynomial time $2$-approximation algorithm for finding a densest geodesic unit disk packing in $P$. Allowing arbitrary radii but constraining the number of disks to be $k$, we present a $4$-approximation algorithm for finding a packing in $P$ with $k$ geodesic disks whose minimum radius is maximized. We then turn our focus on \emph{coverings} of $P$ and present a $2$-approximation algorithm for covering $P$ with $k$ geodesic disks whose maximal radius is minimized. Furthermore, we show that all these problems are $\mathsf{NP}$-hard in polygons with holes. Lastly, we present a polynomial time exact algorithm which covers a polygon with two geodesic disks of minimum maximal radius.

研究の動機と目的

• 建物やデータセンターやような制約のある環境における実用的な施設配置問題に対処する。ここでは、ユークリッド距離よりも最短経路（geodesic）距離がより適切である。
• ユークリッド球ではなくgeodesicディスクを用いた多角形内のパッケージングとカバーイング問題の研究を開始する。
• 目的関数として、単位ディスクの数の最大化、最小半径の最大化、最大半径の最小化を想定し、geodesicディスクのパッケージングとカバーイングのための効率的近似および正確アルゴリズムを開発する。
• これらの問題の計算複雑性を確立し、穴あき多角形ではNP困難であることを証明する。
• 単純多角形を2つのgeodesicディスクで最大半径を最小化するようにカバーする正確な多項式時間アルゴリズムを提供する。

提案手法

• 最大geodesic距離を持つ点のペアを選択してディスクの中心とする反復的グリーディ戦略を用い、最大の分離とカバー範囲を確保する。
• 2つのgeodesicディスクが半径rで多角形のすべての頂点と辺をカバーできるかどうかをテストする決定アルゴリズムをパrametric searchで適用する。
• 凸多角形の頂点を中心とするgeodesic r-円の円配置を構築し、候補となるディスク中心を効率的に探索する。
• 幾何的性質を活用：すべての頂点がカバーされており、かつ高々2つの辺がカバーされていない場合、それらの辺が同じディスク中心によってカバーされれば、内部もカバーされる。
• 中心vからのgeodesic距離がr以下の点の集合がgeodesicディスクを形成することを活用し、多角形内での最短経路距離を用いる。
• 三角不等式およびgeodesic二等分線の性質を用いて、2つのディスクで頂点がカバーされれば、高々2つの辺しかカバーされない可能性があることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純多角形は、最大数のgeodesic単位ディスクで効率的にパッケージング可能か？また、達成可能な近似比は何か？
• RQ2 k個のgeodesicディスクを多角形にパッケージングして最小半径を最大化する問題における最良の近似比は何か？
• RQ3 k個のgeodesicディスクを用いて多角形をカバーし、最大半径を最小化できるか？また、達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ4 単純多角形を2つのgeodesicディスクで最大半径を最小化するようにカバーする正確解を計算可能か？
• RQ5 穴あき多角形におけるgeodesicディスクのパッケージングとカバーイング問題はNP困難か？

主な発見

• 単純多角形にgeodesic単位ディスクを最大数パッケージングする多項式時間2-近似アルゴリズムが提示された。
• 多角形内にk個のgeodesicディスクをパッケージングして最小半径を最大化する問題に対して、4-近似アルゴリズムが開発された。
• k個のgeodesicディスクを用いて多角形（穴あり・なしを問わず）をカバーし、最大半径を最小化する問題に対して2-近似アルゴリズムが提示された。
• 単純多角形を2つのgeodesicディスクで最大半径を最小化するようにカバーする問題に対して、正確なO(n⁸ log n)時間アルゴリズムが設計された。
• 4つの問題—単位ディスクパッケージング、最小半径最大化のためのkディスクパッケージング、最大半径最小化のためのkディスクカバーイング、2ディスクカバーイング—は、穴あき多角形においてすべてNP困難であることが証明された。
• すべての頂点と高々2つの辺がカバーされていれば、多角形全体がカバーされることを示すことで、2ディスクカバーイングアルゴリズムの正しさが確立された。