[論文レビュー] Packing colouring of some classes of cubic graphs

Daouya Laïche, Éric Sopena|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、サイクリックラダーネットワーク、H-図形、一般化H-図形を含む多数の立方グラフクラスについて、正確なパッケージング彩色数を決定する。構造的解析と明示的構成を用いて、$r \geq 2$ におけるサイクリックラダーネットワーク $H^5(r)$ のパッケージング彩色数が正確に6であることを証明し、$r \geq 3$ が奇数であるH-図形では6から7の範囲に境界が定められ、$r=13$ まで計算による検証が行われた。本研究は、一般の部分立方グラフでは有界でないものの、制限された立方グラフ族におけるパッケージング彩色数の有界性の理解に貢献する。

ABSTRACT

The packing chromatic number $χ$ $ρ$ (G) of a graph G is the smallest integer k such that its set of vertices V (G) can be partitioned into k disjoint subsets V 1 ,. .. , V k , in such a way that every two distinct vertices in V i are at distance greater than i in G for every i, 1 $\le$ i $\le$ k. Recently, Balogh, Kostochka and Liu proved that $χ$ $ρ$ is not bounded in the class of subcubic graphs [Packing chromatic number of subcubic graphs, Discrete Math. 341 (2018), 474483], thus answering a question previously addressed in several papers. However, several subclasses of cubic or subcubic graphs have bounded packing chromatic number. In this paper, we determine the exact value of, or upper and lower bounds on, the packing chromatic number of some classes of cubic graphs, namely circular ladders, and so-called H-graphs and generalised H-graphs.

研究の動機と目的

• 特定の立方グラフクラスのパッケージング彩色数の正確値または有界値を同定すること。
• 一般の部分立方グラフでは有界でないにもかかわらず、立方グラフの部分クラスではパッケージング彩色数が有界のままであるかどうかという未解決の問題に取り組むこと。
• サイクリックラダーネットワークやH-図形のような構造的立方グラフを分析することで、従来のパッケージング彩色に関する結果を拡張すること。
• 最適なパッケージング彩色数を達成する明示的構成と周期的彩色パターンを提供すること。
• 有向立方グラフにおけるパッケージング彩色数の有界性に関する未解決の問題を提起すること。

提案手法

• 本稿は、サイクリックラダーネットワーク、H-図形、一般化H-図形の頂点集合を構造的分解して分析し、同じ色が割り当てられた頂点間の距離制約に注目する。
• 頂点が互いに距離 $i$ よりも大きい集合（$i$-パッキング）を定義し、パッケージング彩色数を定義・有界化する概念を適用する。
• 周期的パターンを用いた明示的6彩色を $H^5(r)$ に対して構成し、さまざまな $r$ 値における色の割り当てを図示する。
• 小規模な $H^5(2)$ および $r \geq 5$ の $H^5(r)$ の5彩色の非存在を確認するため、コンピュータ支援のブルートフォース探索を用いる。
• 理論的境界を、$\sum_{i=1}^k \rho_i(G) \geq |V(G)|$ という不等式を用いて導出する。ここで $\rho_i(G)$ は $G$ における $i$-パッキングの最大サイズを表す。
• パッケージング彩色数の遺伝的性質（任意の部分グラフ $H$ に対して $\chi_\rho(H) \leq \chi_\rho(G)$）を活用し、サイクルのコロナに関する既知の結果を用いて下界を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r \geq 2$ の場合、サイクリックラダーネットワーク $H^5(r)$ の正確なパッケージング彩色数は何か？
• RQ2 $r \geq 3$ が奇数であるH-図形 $H(r)$ のパッケージング彩色数は、$r=13$ まで計算的に確認されたように正確に7であるだろうか？
• RQ3 一般の部分立方グラフでは有界でないにもかかわらず、最大次数3の有向立方グラフではパッケージング彩色数が有界のままであるだろうか？
• RQ4 周期的彩色パターンは、構造的立方グラフにおける最適なパッケージング彩色をどのように実現するのか？
• RQ5 対称的かつ再帰的な構造を持つH-図形および一般化H-図形において、頂点にパッケージング彩色を割り当てるために必要な最小の色数は何か？

主な発見

• $r \geq 2$ に対して、サイクリックラダーネットワーク $H^5(r)$ のパッケージング彩色数は正確に6である。これは明示的6彩色と、小規模なケースにおける5彩色の非存在の計算的検証により証明された。
• 奇数 $r \geq 3$ のH-図形 $H(r)$ については、パッケージング彩色数が6から7の間で有界であり、$r=13$ まで計算的証拠が7を支持している。
• $r \geq 6$ の $H^5(r)$ に対して、$r$ を4または6で割った剰余に基づくモジュロ算術を用いた明示的周期的彩色パターンを提供し、有効なパッケージング制約を満たす。
• サイクル $C_n \odot K_1$ のコロナは、それを部分グラフとして含む任意の立方グラフのパッケージング彩色数に4または5の下界を与える。この性質を用いて、基本的な境界を確立した。
• $H^5(r)$ のパッケージング彩色数が少なくとも6であることは、全範囲探索により確認され、$H^5(2)$ および $r \geq 5$ の3ラダー部分グラフに対して5彩色が存在しないことが裏付けられた。
• 本稿は、一般の部分立方グラフでは有界でないものの、いくつかの構造的立方グラフ族ではパッケージング彩色数が有界であることを確認した。これは、Balogh, Kostochka, および Liu が以前に示した事実と対照的である。