[論文レビュー] Packing near the tiling density and exponential bases for product domains

Mihail N. Kolountzakis|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、積領域 $ A \times \Omega \subseteq \mathbb{R}^{d+n} $ がスペクトル的であるならば、$ A $ と $ \Omega $ の両方がスペクトル的であることを示している。これは、区間から二つの区間の和集合への結果の拡張である。高密度な $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ の配置がタイリングを意味することを示すことにより、$ A \times \Omega $ がスペクトル的であると、$ A $ が二つの不連続な区間の和集合であっても、両因子がスペクトル的であることが保証される。

ABSTRACT

A set $Ω$ in a locally compact abelian group is called spectral if $L^2(Ω)$ has an orthogonal basis of group characters. An important problem, connected with the so-called Spectral Set Conjecture (saying that $Ω$ is spectral if and only if a collection of translates of $Ω$ can partition the group), is the question of whether the spectrality of a product set $Ω= A imes B$, in a product group, implies the spectrality of the factors $A$ and $B$. Recently Greenfeld and Lev proved that if $I$ is an interval and $Ω\subseteq {\mathbb R}^d$ then the spectrality of $I imes Ω$ implies the spectrality of $Ω$. We give a different proof of this fact by first proving a result about packings of high density implying the existence of tilings by translates of a function. This allows us to improve the result to a wider collection of product sets than those dealt with by Greenfeld and Lev. For instance when $A$ is a union of two intervals in ${\mathbb R}$ then we show that the spectrality of $A imes Ω$ implies the spectrality of both $A$ and $Ω$.

研究の動機と目的

• 積領域のスペクトル的因子問題を解明すること、特に一方の因子が二つの区間の和集合である場合に焦点を当てる。
• GreenfeldとLevの区間に関する結果を、より広いクラスの積集合へ拡張すること。
• 高密度な $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ の配置とタイリングの存在との間の一般的原則を確立すること。
• スペクトル的 $ A \times \Omega $ が $ A $ と $ \Omega $ の両方がスペクトル的であることを示すこと、$ A $ が二つの区間の和集合であっても成立すること。
• 従来の手法とは独立した、配置密度とタイリングの同値性に基づく新しい証明技法を提供すること。

提案手法

• 関数 $ f = |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ が $ |\Omega|^2 $ に限りなく近い密度で配置できるならば、その関数はタイリングを形成する、という一般的原則を導入する。
• $ L^2(\Omega) $ における正規直交性と配置（Besselの不等式を介して）および完全性と等号（Parsevalの恒等式を介して）の同値性を用いる。
• 密度に基づくタイリング基準を適用：関数 $ f $ の配置密度がその $ L^2 $-ノルムに関連する閾値を超えるならば、$ f $ はタイリングを形成する。
• $ A = I \cup J $ として二つの区間の和集合である場合の関数 $ f = |\widehat{\chi_A}|^2 $ にこの基準を適用し、フーリエ解析を用いてそのゼロ集合を分析する。
• $ D - D $ が $ \widehat{\chi_A} $ のゼロ集合を避けるならば、$ A \times \Omega $ がスペクトル的であると $ \Omega $ がスペクトル的であることが導かれる、という事実を用いる。
• 双対性の議論を用いる：$ D $ を $ D - D $ が $ \widehat{\chi_A} $ のゼロ集合を避け、かつ $ |D| \geq 1 $ となるように選べば、$ A \times \Omega $ がスペクトル的であると $ \Omega $ がスペクトル的であることが示せる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積集合 $ A \times \Omega $ がスペクトル的である場合、$ A $ が二つの区間の和集合であっても、$ A $ と $ \Omega $ の両方がスペクトル的であると言えるか？
• RQ2 高密度な $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ の配置が、$ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ の平行移動によるタイリングの存在を保証できるか？
• RQ3 $ A = I \cup J $ に対して $ \widehat{\chi_A} $ のゼロ集合にどのような条件が課されると、$ A \times \Omega $ がスペクトル的であるならば $ \Omega $ がスペクトル的であると言えるか？
• RQ4 $ A $ が単一の区間ではなく二つの区間の和集合である場合、積領域のスペクトル的因子問題は分離可能か？
• RQ5 Fugledeの予想を、一方の因子が二つの区間の和集合である積領域へ拡張できるか？

主な発見

• $ A = I \cup J $ が二つの不連続な区間の和集合で、$ |I| + |J| = 1 $ であるとき、$ A \times \Omega \subseteq \mathbb{R}^{1+n} $ がスペクトル的であれば、$ A $ と $ \Omega $ の両方がスペクトル的である。
• $ |I| \neq |J| $ の場合、フーリエ変換 $ \widehat{\chi_A} $ は $ (-1,1) $ にゼロを持たず、これにより密度に基づくタイリングの議論が可能になる。
• $ |I| = |J| = 1/2 $ の場合、$ \widehat{\chi_A} $ のゼロ集合は明示的に $ 2\mathbb{Z} \setminus \{0\} \cup (2\mathbb{Z}+1)\Delta $ と表され、ここで $ \Delta = 1/(2|m_1 - m_2|) $ である。このため、$ |D| = 1 $ かつ $ D - D $ がゼロ集合と交差しないような適切な $ D $ の構成が可能になる。
• $ |D| = 1 $ かつ $ D - D $ が $ \widehat{\chi_A} $ のゼロ集合と交差しないような $ D $ の構成は、定理2(a)により $ \Omega $ がスペクトル的であることを示唆する。
• 本結果は、GreenfeldとLevの定理を一般化する：$ [0,1] \times \Omega $ がスペクトル的であるならば $ \Omega $ がスペクトル的であるが、これを $ A = I \cup J $ である二つの区間の和集合へ拡張している。
• 本稿では、数学的帰納法と主定理を用いて、$ [0,1]^d \times B \subseteq \mathbb{R}^{d+n} $ がスペクトル的であるならば $ B \subseteq \mathbb{R}^n $ がスペクトル的であることを証明している。