[論文レビュー] Packing, Scheduling and Covering Problems in a Game-Theoretic Perspective

Elena Kleiman|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2011

Game Theory and Applications参考文献 61被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、自己利益主義的エージェントを有するシステムにおける均衡の効率性と公平性を分析するゲーム理論的視点から、パッケージング、スケジューリング、カバレッジ問題を調査する。Pareto最適、Strong Nash、公平な均衡を導入・特徴づけ、同一および関連するマシンにおけるジョブスケジューリング、ビンパッキング、マシンカバレッジ問題における悪化度（Price of Anarchy）および安定度（Price of Stability）のタイトな境界を導出する。

ABSTRACT

Many packing, scheduling and covering problems that were previously considered by computer science literature in the context of various transportation and production problems, appear also suitable for describing and modeling various fundamental aspects in networks optimization such as routing, resource allocation, congestion control, etc. Various combinatorial problems were already studied from the game theoretic standpoint, and we attempt to complement to this body of research. Specifically, we consider the bin packing problem both in the classic and parametric versions, the job scheduling problem and the machine covering problem in various machine models. We suggest new interpretations of such problems in the context of modern networks and study these problems from a game theoretic perspective by modeling them as games, and then concerning various game theoretic concepts in these games by combining tools from game theory and the traditional combinatorial optimization. In the framework of this research we introduce and study models that were not considered before, and also improve upon previously known results.

研究の動機と目的

• 自己利益主義的に行動するエージェントを有する分散システムにおける均衡の効率性を分析し、協調の欠如に起因する性能劣化を重点的に検討する。
• スケジューリングおよびパッケージングゲームにおけるPareto最適、厳密かつ弱いPareto最適、およびStrong Nash均衡の特徴づけと計算を目的とする。
• 悪化度（Price of Anarchy）、安定度（Price of Stability）、および最大エゴイズム比といった指標を用いて、公平性と効率性のトレードオフを評価する。
• 古典的組合せ最適化問題（ビンパッキング、スケジューリング、マシンカバレッジ）を戦略的エージェントと非協力的行動を伴う設定に拡張する。
• コスト配分メカニズムや構造的制約（例：基数制限、可変サイズのビン）が均衡の効率性および安定度に与える影響を調査する。

提案手法

• ジョブスケジューリング、ビンパッキング、マシンカバレッジを、個々のコストを最小化または個々の利得を最大化する自己利益主義的エージェントを有する非協力ゲームとしてモデル化する。
• ナッシュ均衡、Strong Nash均衡、Pareto最適性といったゲーム理論的概念を用いて、システム性能を分析する。
• 自己利益的行動に起因する最悪ケースおよび最良ケースの効率性損失を測るため、悪化度（Price of Anarchy, PoA）および安定度（Price of Stability, PoS）を用いる。
• 同一、関連、均等関連マシンなどのさまざまなマシンモデルおよび問題変種に対して、PoAおよびPoSの解析的境界を導出する。
• 均衡構成における最小最大公平性や最大エゴイズム比といった公平性基準を導入・分析する。
• 構成的下界例および数学的解析および最適解と均衡解の構造的分解を用いた上界証明により、上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一、関連、および無関係マシンにおけるジョブスケジューリングゲームにおいて、最悪ケースの効率性損失（悪化度）はいかほどか？
• RQ2 スケジューリングゲームにおける厳密Pareto最適均衡と弱いPareto最適均衡の間で、均衡の効率性および公平性はどのように異なるか？
• RQ3 自己利益主義的アイテムを有するビンパッキングおよびパラメトリックビンパッキングゲームにおける、悪化度および安定度のタイトな境界は何か？
• RQ4 コスト配分の構造（例：アイテムサイズに比例）が、Strong Nash均衡の存在性および効率性に与える影響は何か？
• RQ5 最小最大公平性や最大エゴイズム比といった公平性基準が、マシンカバレッジゲームにおける均衡性能に与える影響は何か？

主な発見

• 同一マシンにおけるジョブスケジューリングでは、悪化度（PoA）は2、安定度（PoS）は1.5であり、特定のマシン比に対してタイトな境界が確立されている。
• 速度比 s ∈ [1, 4/3] ∪ [1.78, 2] の関連マシンでは、悪化度（PoA）はそれぞれ2および1.5にタイトに達し、s ∈ (4/3, 1.78) の範囲における正確な値は未解決のままである。
• 比例コスト配分を有するビンパッキングゲームでは、悪化度（PoA）は2以下であり、Strong悪化度（Strong PoA）は2.5以下であり、特定の状況ではタイトな境界が得られている。
• パラメトリックビンパッキングでは、悪化度（PoA）は1.5から2.5の間で抑えられ、特定のパrameter範囲に対してタイトな境界が導出された。
• m台の同一マシンにおけるマシンカバレッジの安定度（PoS）は1.5以下であり、均衡状態における最大エゴイズム比は2以下に抑えられている。
• 最小最大公平な均衡はジョブスケジューリングゲームに存在し、かつ厳密Pareto最適であるが、カバレッジ目的では最小最大公平な悪化度が必ずしも1ではないため、さらなる研究が求められる。