[論文レビュー] Pacman renormalization and self-similarity of the Mandelbrot set near Siegel parameters

Dzmitry Dudko, Mikhail Lyubich+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、二次的類似およびシーゲル再帰化を統合する新しい枠組み「Pacman再帰化理論」を導入し、シーゲルパrameterに近い周期的組み合わせの下で再帰化作用素の双曲的性を証明する。マンデルブロ集合の準周期的成分のスケーリング則を確立し、長年の問題を解決する。すなわち、シーゲル再帰化周期的点が双曲的であり、1次元の不安定多様体を持つことを示す。

ABSTRACT

In the 1980s Branner and Douady discovered a surgery relating various limbs of the Mandelbrot set. We put this surgery in the framework of "Pacman Renormalization Theory" that combines features of quadratic-like and Siegel renormalizations. We show that Siegel renormalization periodic points (constructed by McMullen in the 1990s) can be promoted to pacman renormalization periodic points. Then we prove that these periodic points are hyperbolic with one-dimensional unstable manifold. As a consequence, we obtain the scaling laws for the centers of satellite components of the Mandelbrot set near the corresponding Siegel parameters.

研究の動機と目的

• マンデルブロ集合における自己相似性を研究するため、二次的類似とシーゲル再帰化を統合する包括的な再帰化理論の構築を目的とする。
• 任意の周期的組み合わせに対してシーゲル再帰化作用素の双曲的性という長年の問題を解決することを目的とする。
• シーゲルパrameterに近い準周期的ハーモニック成分の中心までの距離に関する正確なスケーリング則を確立することを目的とする。
• 有界型の準周期的パラメータにおけるマンデルブロ集合の局所的連結性を示す基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• 再帰化ダイナミクスをモデル化するため、臨界弧γ1が三つの逆像γ0、γ+、γ−を持つ、ホロモーフィックな2:1写像f: U → Vを特徴づける「パックマン」を導入する。
• γ1とγ2で囲まれる領域を除去し、残りの領域への最初の戻り写像をとることで、パックマン再帰化作用素Rを定義する。
• 回転数θに対して、θ ≤ 1/2のときθ ↦ θ/(1−θ)、θ ≥ 1/2のときθ ↦ 2θ−1/θを定義し、R/Z上での2:1写像を誘導する。
• 引き戻しの制御と最大のプリパックマンを用いて、再帰化作用素のダイナミクスを分析する。
• 反再帰化およびセクタ再帰化技術を用いて曲線を引き上げ、幾何的性質を制御する。
• 安定多様体定理を用いて双曲的性を証明し、周期的点に対して1次元の不安定多様体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーゲル再帰化作用素は、すべての周期的組み合わせに対して双曲的か？
• RQ2 シーゲルパrameter付近におけるマンデルブロ集合の自己相似性は、統一された再帰化スキームで説明可能か？
• RQ3 シーゲルパrameterから準周期的成分の中心までの距離に関する正確なスケーリング則は何か？
• RQ4 シーゲルパrameter付近の摂動下で、正則集合の幾何的性質はどのように振る舞うか？
• RQ5 母ヒッコリー集合がパラメータに関して上半連続的であることを示せるか？

主な発見

• 任意のθ ∈ Θperに対して、パックマン再帰化作用素は一意な双曲的周期的点f⋆を持ち、1次元の不安定多様体を持つ。
• f⋆の安定多様体は、回転数がθであるすべてのシーゲルパックマンからなる。これは構造的安定性を証明する。
• 任意のθ ∈ Θperについて、連分数近似pn/qnを用いるとき、|c(θ) − apn/qn| ∼ 1/qn²が成り立ち、正確なスケーリングが確立される。
• シーゲル円板の摂動下での安定性が証明され、f⋆の近傍でパラメータに連続的に依存することが示される。
• これらの結果はMolecule予想を支持し、有界型の準周期的パラメータにおけるマンデルブロ集合の局所的連結性を示唆する。
• 本稿は、摂動下における母ヒッコリー集合の上半連続性の部分的検証を提供し、ジュリア集合の正の測度に関する結果にとって不可欠である。