[論文レビュー] Padé Approximants, density of rational functions in $\bbb{A^\infty(\OO)}$ and smoothness of the integration operator

Vassili Nestoridis, Ilias Zadik|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、領域 $\Omega$ における $A^\infty(\Omega)$ 空間におけるPadé近似の一般性を確立し、$\partial\Omega$ が無限長であっても、$\Omega$ に幾何的条件が満たされれば有理関数が $A^\infty(\Omega)$ に一様密であることを示している。さらに、この条件下で、$\Omega$ 上の積分作用素が $H^\infty(\Omega)$ および $A(\Omega)$ を保存することを証明し、$A(\Omega)$ に属する関数のうち、その原始関数が有界でない具体例を構成することで、境界の幾何的性質が積分の滑らかさに与える影響を強調している。

ABSTRACT

First we establish some generic universalities for Padé approximants in the closure $X^\infty(\OO)$ in $A^\infty(\OO)$ of all rational functions with poles off $\oO$, the closure taken in $\C$ of the domain $\OO\subset\C$.\ Next we give sufficient conditions on $\OO$ so that $X^\infty(\OO)=A^\infty(\OO)$.\ Some of these conditions imply that, even if the boundary $\partial\OO$ of a Jordan domain $\OO$ has infinite length, the integration operator on $\OO$ preserves $H^\infty(\OO)$ and $A(\OO)$ as well.\ We also give an example of a Jordan domain $\OO$ and a function $f\in A(\OO)$, such that its antiderivative is not bounded on $\OO$.\ Finally we restate these results for Volterra operators on the open unit disc $D$ and we complete them by some generic results.

研究の動機と目的

• 有理関数の閉包 $X^\infty(\Omega)$ におけるPadé近似の一般性を確立すること。
• $\partial\Omega$ が無限長であっても $X^\infty(\Omega) = A^\infty(\Omega)$ が成り立つような、領域 $\Omega$ の十分な幾何的条件を同定すること。
• ジョルダン領域 $\Omega$ における積分作用素の滑らかさを調査すること。具体的には、$H^\infty(\Omega)$ や $A(\Omega)$ に属する関数の原始関数が境界にまで有界または連続のままであるかどうかを検討すること。
• $\partial\Omega$ が無限長であっても、ジョルダン領域 $\Omega$ と関数 $f \in A(\Omega)$ の具体例を構成し、その原始関数が $\Omega$ 内で有界でないことを示すことにより、特定の状況下で滑らかさが失われる可能性を示すこと。
• 結果を単位円板上のボルテラ作用素の言語に再定式化し、バーレーのカテゴリー理論を用いて一般性に関する結果を証明すること。

提案手法

• コンパクト集合が $\overline{\Omega}$ から離れている領域で、$\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 上の弦的距離を用いて、Padé近似による関数の一様近似を分析すること。
• バーレーのカテゴリ一様定理を応用し、$H^\infty(\Omega)$ や $A(\Omega)$ に属さない原始関数を持つ関数の集合が、特定の条件下で $A(\Omega)$ 内で残渣的かつ稠密であることを示すこと。
• $\partial\Omega$ が無限長であるジョルダン領域 $\Omega$ と、その原始関数が有界でない関数 $f \in A(\Omega)$ の具体例を、特異なガンマ関数 $\exp\left(\frac{z+1}{z-1}\right)$ を用いて構成すること。
• リーマン写像を用いて結果を単位円板 $D$ に還元し、積分作用素を $H(D)$ および $A(D)$ 上のボルテラ作用素 $T_g$ として再定式化すること。
• $\{f \in A(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ および $\{f \in H^\infty(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ が、非空であれば $G_\delta$ かつ稠密であることを、一様収束位相における開かつ稠密な集合を用いて示すこと。
• 位相的一般性を用いて、関数 $g$ の残渣的集合に対して、ボルテラ作用素 $T_g$ が $H^\infty(D)$ を保存しない入力関数 $f$ の残渣的集合が存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Omega$ がどのような幾何的条件下に、$\overline{\Omega}$ 外の極を持つ有理関数の閉包 $X^\infty(\Omega)$ が $A^\infty(\Omega)$ と一致するか。
• RQ2 $\partial\Omega$ が無限長であっても、ジョルダン領域 $\Omega$ 上の積分作用素が $H^\infty(\Omega)$ および $A(\Omega)$ を保存することができるか。具体的には、有界または連続な正則関数の原始関数が、境界にまで有界または連続のままであるか。
• RQ3 $\partial\Omega$ が無限長であっても、ジョルダン領域 $\Omega$ 上に、その原始関数が $\Omega$ 内で有界でない関数 $f \in A(\Omega)$ の具体例が存在するか。
• RQ4 積分作用素が $H^\infty(\Omega)$ を保存しないという事態は、どれほど一般に成立するか。具体的には、$f \in A(\Omega)$ でその原始関数が $H^\infty(\Omega)$ に属さない集合が $A(\Omega)$ 内で残渣的かつ稠密であるか。
• RQ5 $\Omega$ 上の積分作用素に関する結果を、単位円板 $D$ 上のボルテラ作用素に再定式化し一般化できるか。また、この設定において失敗集合は一般的であるか。

主な発見

• $\Omega$ がジョルダン領域で、$\overline{\Omega}^0 = \Omega$、$\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}$ が連結であり、$\Omega$ 内の点間の曲線長が一様に有界であるならば、$\partial\Omega$ が無限長であっても、極が $\overline{\Omega}$ 外にある有理関数の閉包 $X^\infty(\Omega)$ は $A^\infty(\Omega)$ に一致する。
• このような領域 $\Omega$ に対して、$F' = f$ かつ $F(z_0) = 0$ を満たす積分作用素 $f \mapsto F$ は、$H^\infty(\Omega)$ を $H^\infty(\Omega)$ に、$A(\Omega)$ を $A(\Omega)$ に写像する。これにより、積分の滑らかさが保証される。
• $\partial\Omega$ が無限長であるジョルダン領域 $\Omega$ と、$f \in A(\Omega)$ が存在し、その原始関数 $F$ が $\Omega$ 内で有界でない。このことは、境界長が無限大であっても積分の滑らかさが保証されない可能性を示している。
• $H^\infty(\Omega)$ に属さない原始関数を持つ関数 $f \in A(\Omega)$ の集合は、空集合であるか、あるいは $A(\Omega)$ 内で残渣的かつ $G_\delta$ である。これは、原始関数の有界性の失敗が一般に成立することを示している。
• 単位円板 $D$ 上では、ボルテラ作用素 $T_g(f) = \int_0^z f(\zeta)g'(\zeta) d\zeta$ が、$Y_1(g) \neq \emptyset$ ならば、$A(D)$ の残渣的かつ稠密な集合の $f$ に対して $H^\infty(D)$ を保存しない。この性質は、記号 $g$ の空間において一般的である。
• $\{f \in A(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ および $\{f \in H^\infty(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ は、非空であればそれぞれ $A(D)$ および $H^\infty(D)$ 内で $G_\delta$ かつ稠密であり、バーレーのカテゴリーアーギュメントによって示された。