[論文レビュー] Pair correlation of sequences $(\lbrace a_n \alpha brace)_{n \in \mathbb{N}}$ with maximal order of additive energy

Gerhard Larcher, Wolfgang Stockinger|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最大の加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ を持つ相異なる正の整数の列 $(a_n)$ に対して、任意の無理数 $\alpha$ に対して、列 $\{a_n \alpha\}$ は常にポisson的対相関を示さないことを証明する。この結果は、バログ＝シュメレディ＝ガウアーズおよびフライマンの定理を用いた構造的解析により、高次の加法的エネルギーが準算術的構造と関連することを示し、ボーグェインの先行研究を、ほとんどすべての $\alpha$ に対してではなく、すべての $\alpha$ に対して成り立つように鋭くした。

ABSTRACT

We show for sequences $\left(a_{n} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ of distinct positive integers with maximal order of additive energy, that the sequence $\left(\left\{a_{n} \alpha ight\} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ does not have Poissonian pair correlations for any $\alpha$. This result essentially sharpens a result obtained by J. Bourgain on this topic.

研究の動機と目的

• ボーグェインの高次加法的エネルギーを持つ列におけるポisson的対相関に関する結果の鋭さを解明すること。
• 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ を持つ列に対して、列 $\{a_n\alpha\}$ が無理数 $\alpha$ に対して、ほとんどすべての $\alpha$ ではなく、すべての $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ に対してポisson的対相関を示さないことを示すこと。
• このような列が有限次元 $d$ の準算術的構造を示す構造的特徴づけを確立し、加法的エネルギーと等差数列構造を結びつけること。
• 対相関がほとんどすべての $\alpha$ に対してポisson的でないならば、すべての $\alpha$ に対してもポisson的でないという予想を、最大エネルギーの場合に証明することで確認すること。

提案手法

• 加法的エネルギー $E(A_N)$ を、$a+b = c+d$ を満たす四つ組 $(a,b,c,d) \in A_N^4$ の数として定義し、これを用いて列の加法的構造を分類する。
• バログ＝シュメレディ＝ガウアーズの定理を用いて、$E(A_N) = \Omega(N^3)$ ならば、$|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$ を満たす大きな部分集合 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$ が存在することを示す。
• フライマンの定理を適用し、このような部分集合がサイズ $O(N_i)$ の $d$ 次元等差数列に含まれることを示し、列が次数 $d$ の準算術的構造を示すことを分類する。
• 等差数列の構造を用いて、インデックスベクトルの差 $r_k - r_l$ を分析し、多くの差が同じベクトル $u$ を与えることを示す。
• 性質1：少なくとも $\gamma N$ 個の異なる差ベクトル $u$ が、それぞれ $\gamma N$ 回以上出現する。ここで $\gamma = C^2 / (1 + 2^d)$ である。
• ピーコンホールの論法（性質2）を用いて、ある $\beta \in [0,1)$ に対して、$\{u \cdot \mathbf{k} \alpha\}$ の少なくとも $L = 2/\gamma$ 個の値が長さ $L/(\gamma N)$ の区間内に存在することを示し、分数部分にクラスタリングが生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次加法的エネルギーを持つ列において、ほとんどすべての $\alpha$ に対してポisson的対相関が成立しないという事実は、すべての $\alpha$ に対しても成立するか？
• RQ2 加法的エネルギーが最大 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ である列は、構造的に特徴づけられるか？ その特徴づけは、非ポisson的対相関を意味するか？
• RQ3 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ の場合に、$\{a_n \alpha\}$ がすべての無理数 $\alpha$ に対してポisson的対相関を示さないことを証明することは可能か？ これによりボーグェインの結果のギャップが埋まるか？
• RQ4 対相関がほとんどすべての $\alpha$ に対してポisson的でないならば、すべての $\alpha$ に対してもポisson的でないという予想は、最大エネルギーの場合に検証可能か？

主な発見

• 任意の相異なる正の整数の列 $(a_n)$ で、$E(A_N) = \Omega(N^3)$ を満たすものに対して、すべての無理数 $\alpha$ に対して列 $\{a_n \alpha\}$ はポisson的対相関を示さない。
• $E(A_N) = \Omega(N^3)$ という条件は、ある有限次元 $d$ の準算術的構造を示すことに同値であり、これは正の割合の最初の $N_i$ 項がサイズ $O(N_i)$ の $d$ 次元等差数列に含まれることを意味する。
• 各々のこのような列に対して、$k \neq l$ を満たす少なくとも $\tau N_i$ 個のペア $(k,l)$ が存在し、$\|\{a_k \alpha\} - \{a_l \alpha\}\| \leq \psi / N_i$ を満たす。ここで $\tau = C^4 / (4(1 + 2^d)^2)$ であり、$\psi$ は $d$ と $C$ のみに依存する。これは強いクラスタリングを示唆する。
• $\psi_i < \rho$ となる $i$ が無限に多く存在するならば、$s = \rho$ のとき対相関関数が $3\rho$ を超え、ポisson的挙動に反する。
• $\psi_i \geq \rho$ となる $i$ が無限に多く存在するならば、$s_2 - s_1 = \tau/3$ となる区間 $[s_1, s_2]$ における対相関数の差が $\tau$ を超え、ポisson的極限 $2(s_2 - s_1) < \tau$ に反するため、非ポisson的挙動が証明される。