[論文レビュー] Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost paracontact almost paracomplex Riemannian structure

Hristo Manev, Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ほぼパラ接触的ほぼパラ複素リーマン多様体のパラ接触分布に適した、関連するショーテン＝ヴァン・カンペン接続のペアを導入し、その性質を研究する。リーマン計量および関連する擬リーマン計量のレヴィチビタ接続を活用することで、これらの多様体の基本的クラスを非対称接続を用いて特徴付け、断面曲率変換およびスカラー曲率の恒等式を含む明示的な曲率関係を導出する。主たる貢献は、幾何的構造、非対称接続、およびこれらの多様体上の曲率不変量を統一的に結びつけるフレームワークの構築であり、リー群の族を用いた例によって検証されている。

ABSTRACT

There are introduced and studied a pair of associated Schouten-van Kampen affine connections adapted to the paracontact distribution and an almost paracontact almost paracomplex Riemannian structure generated by the pair of associated metrics and their Levi-Civita connections. By means of the constructed non-symmetric connections, the basic classes of the manifolds with the considered structure are characterized. Curvature properties of the studied connections are obtained. A family of examples on a Lie group is constructed.

研究の動機と目的

• ほぼパラ接触的ほぼパラ複素リーマン多様体のパラ接触分布に適した非対称ショーテン＝ヴァン・カンペン接続のペアを構築すること。
• そのような多様体の基本的クラス（F1 から F11）を、構築した接続を用いて特徴付けること。
• 新接続のリーマン曲率、リッチ曲率、スカラー曲率がレヴィチビタ接続のそれらと関係する明示的な曲率恒等式を導出すること。
• 理論的結果を検証するため、リー群の族の具体例を構築し、解析すること。

提案手法

• リーマン計量 g 及びその関連する擬リーマン計量 eg のレヴィチビタ接続を用いて、ショーテン＝ヴァン・カンペン接続 ∇∥ および e∇∥ のペアを定義する。
• F(x,y,z) = g((∇xφ)y, z) で定義される型 (0,3) の基本的テンソル F を用いて、多様体を基本的クラス F1 から F11 に分類する。
• ∇∥ および e∇∥ のリーマン曲率、リッチ曲率、スカラー曲率がレヴィチビタ接続 ∇ のそれらと関係する曲率変換公式を導出する。
• リッチ曲率 ρ(ξ,ξ) 及びスカラー曲率 τ∥ をテンソル S = ∇ξ 及びそのトレースと平方の形で表現する。
• 形式的枠組みを (2n+1) 次元の左不変構造を有するリー群 L に適用し、構造定数を用いて ∇ 及び F の成分を計算する。
• 3次元例（n=1）において理論的結果を検証し、∇∥ 及び e∇∥ がウェイツェンボック接続に一致することを示し、したがって曲率は消えるが torsion は非ゼロであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼパラ接触的ほぼパラ複素リーマン多様体のパラ接触分布に適した、関連するショーテン＝ヴァン・カンペン接続のペアをどのように構築できるか？
• RQ2 これらの接続は多様体の基本的クラス F1 から F11 をどのように特徴付けるか？
• RQ3 新接続のリーマン曲率、リッチ曲率、スカラー曲率がレヴィチビタ接続のそれらと関係する明示的な曲率変換公式は何か？
• RQ4 ∇∥ 及び e∇∥ の断面曲率は、ξ-断面、φ-断面、φ-全実断面などの異なる種類の2次元平面において、∇ のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 理論的枠組みは、リー群の族における具体的な構成によって検証可能か？

主な発見

• 関連するショーテン＝ヴァン・カンペン接続 ∇∥ 及び e∇∥ は、g 及び eg のレヴィチビタ接続から構成され、リー群の例ではウェイツェンボック接続に一致する。これは曲率が消えるが torsion が非ゼロであることを示唆する。
• ∇∥ のスカラー曲率 τ∥ は、レヴィチビタスカラー曲率 τ と関係して τ∥ = τ − 2ρ(ξ,ξ) − tr(S²) + (tr(S))² で与えられる。ここで ρ(ξ,ξ) はテンソル S = ∇ξ のトレースおよび平方を用いて表現される。
• ξ に直交する φ-全実断面 α⊥ に対して、断面曲率は k∥(α⊥;p) = k(α⊥;p) + π₁(S(x),S(y),y,x)/π₁(x,y,y,x) を満たす。e∇∥ 及び eg に対しても同様の式が成り立つ。
• ξ-断面では、∇∥ 及び e∇∥ の断面曲率は恒等的にゼロである：k∥(αξ;p) = 0 および ek∥(αξ;p) = 0。
• 3次元リー群の例（n=1）は、a₁≠0 かつ a₂≠0 のとき F4⊕F9、a₁=0 かつ a₂≠0 のとき F4、a₁≠0 かつ a₂=0 のとき F9、a₁=a₂=0 のとき F0 を実現する。
• この例は一般理論を確認する：∇∥ 及び e∇∥ は曲率がゼロであり、曲率変換公式は ∇ 及び F の成分計算を通じて明示的に検証されている。