[論文レビュー] Pairing and Quantum Double of Multiplier Hopf Algebras

Bernhard Drabant, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Sep 16, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、通常のホップ代数から乗算ホップ代数へのペアリングおよび量子ダブル構成の理論を拡張する。2つの双対的ペアリングを持つ正則な乗算ホップ *-代数が、それらの量子ダブルを形成し、それが再び正則な乗算ホップ *-代数であることを示している。元の代数上の積分がダブル上に誘導され、量子群理論の主要構造が乗算設定へ一般化される。

ABSTRACT

We define and investigate pairings of multiplier Hopf algebras. It is shown that two dually paired regular multiplier Hopf ($*$-)algebras $A$ and $B$ yield a quantum double multiplier Hopf ($*$-)algebra which is again regular. Integrals on $A$ and $B$ induce an integral on the quantum double. The results generalize pairing and quantum double construction from ordinary Hopf algebras to multiplier Hopf algebras.

研究の動機と目的

• 通常のホップ代数からより一般的な乗算ホップ代数の設定へ、ペアリングおよび量子ダブル構成を拡張すること。
• 2つの双対的ペアリングを持つ正則な乗算ホップ *-代数の量子ダブルが、再び正則な乗算ホップ *-代数であることを確立すること。
• 元の代数上の積分が、得られる量子ダブル上に積分を誘導することを示すこと。
• 有限次元ホップ代数からの既知の結果を、無限次元的・乗算設定へ一般化すること。
• 非単位的かつ非有限次元的状況における量子群の構成を、乗算ホップ代数理論を用いてフレームワーク化すること。

提案手法

• 著者は、双対性条件を満たす非退化な双線形形式を用いて、2つの正則な乗算ホップ代数 A と B 間のペアリングを定義する。
• 彼らは、A ⊗ B 上に作用するクロス積代数構造としての量子ダブル構成を導入し、個々のコマルチプライケーションを拡張するコマルチプライケーションを備える。
• この構成は、A および B 上に積分の存在に依存し、それらを用いて双対ペアリングを定義するとともに、量子ダブルが正則性を引き継ぐことを保証する。
• 著者は、量子ダブルが正則な乗算ホップ *-代数の公理を満たすことを検証する。これには、非退化なコマルチプライケーションおよび積分の存在が含まれる。
• 著者は、乗算ホップ代数の理論、特に積分の存在および A と B 間の双対性を用いて、量子ダブルが適切に定義され、正則であることを証明する。
• 証明には、乗算設定における必要な代数的およびコ代数的公理、特に五角形および六角形の恒等式の検証が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ホップ代数から乗算ホップ代数へ、量子ダブル構成を一般化できるか？
• RQ2 2つの双対的ペアリングを持つ正則な乗算ホップ *-代数の量子ダブルは、再び正則な乗算ホップ *-代数であるか？
• RQ3 元の代数上の積分は、量子ダブル上の積分とどのように関係するか？
• RQ4 乗算ホップ代数間のペアリングが非退化的であり、コマルチプライケーションと整合的であるための条件は何か？
• RQ5 乗算設定における量子ダブル構成は、有限次元の場合と同様にファンクター的であるか、双対性と整合的か？

主な発見

• 2つの双対的ペアリングを持つ正則な乗算ホップ *-代数の量子ダブルは、再び正則な乗算ホップ *-代数である。
• この構成は双対性構造を保存し、一般化された意味でダブルが自己双対的であることを保証する。
• 元の代数 A および B 上の積分は、量子ダブル上に明確に定義された積分を誘導し、トレースに類似した性質を保持する。
• A と B 間のペアリングは非退化的であり、コマルチプライケーションと整合的であるため、ダブルが適切に定義される。
• 結果として、標準的な量子ダブル構成が、有限次元ホップ代数から無限次元的・非単位的乗算ホップ代数の設定へ一般化される。
• このフレームワークは、乗算ホップ代数の文脈における量子群の構成のための一貫した代数的構造を提供し、量子代数における既知の結果を拡張する。