[論文レビュー] Pairings on hyperelliptic curves

Jennifer S. Balakrishnan, Juliana Belding+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2009

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、暗号における双曲的ペアリングに関する包括的かつ統一的な枠組みを提供し、特に genus 2 曲線に焦点を当てる。ペアリングに適した双曲的曲線の構築法、Ate、R-ate、Hess-Vercauteren 変種を含む既存のペアリングの分類、およびそれらの計算最適化をレビューする。双曲的ペアリングが、特定の状況下で、特にミラー・ループ長の短縮と最終指数化の不要なケースにおいて、楕円曲線ペアリングと同等の性能を示す可能性があることを示している。

ABSTRACT

We assemble and reorganize the recent work in the area of hyperelliptic pairings: We survey the research on constructing hyperelliptic curves suitable for pairing-based cryptography. We also showcase the hyperelliptic pairings proposed to date, and develop a unifying framework. We discuss the techniques used to optimize the pairing computation on hyperelliptic curves, and present many directions for further research.

研究の動機と目的

• ペアリングベースの暗号に適した双曲的曲線に関する最近の研究をサーベイし、特に通常の場合に焦点を当てて再編成すること。
• Ate、R-ate、およびHess-Vercauteren 系列を含む双曲的ペアリングの統一的枠組みを提示すること。
• genus 2 の双曲的曲線におけるペアリング計算技術の分析と最適化を行うこと。
• 双曲的ペアリングの効率性と応用分野における未解決問題および今後の研究方向性を特定すること。

提案手法

• 著者らは、Hess と Vercauteren の研究に基づき、双曲的ペアリングの一般化された枠組みを構築し、楕円曲線用のフレームワークを双曲的曲線へ拡張した。
• 除法理論と曲線上の関数評価を用いて、この枠組み内でのペアリングの双線形性および非退化性を分析した。
• 文献（例：[50, 73]）からの明示的公式および最適化手法を用い、genus 2 のジャコビアン上での算術的効率を向上させた。
• 関数評価および除法上の積の計算の複雑さを分析することで、ペアリング計算コストを比較した。
• ねじれ部分群の構造と埋め込み次数を検討し、完全埋め込み次数が小さい曲線を同定した。
• 実モデルの双曲的曲線の使用を検討し、そのペアリング計算における効率性の可能性を調査した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線用 Ate ペアリングフレームワークを一般化する双曲的ペアリング用の統一的枠組みを確立できるか？
• RQ2 双曲的ペアリングの性能特性は何か、特にミラー・ループ長と最終指数化の必要性の観点から。
• RQ3 ρ値が小さい（特に ρ < 2）ペアリングに適した双曲的曲線を構築できるか？
• RQ4 楕円曲線では実現できないが、genus 2 以上のジャコビアンを必要とする暗号的応用は存在するか？
• RQ5 実モデルの双曲的曲線でも効率的なペアリング計算が達成可能か？また、虚数モデルと比較してどうなるか？

主な発見

• 双曲的 Ate ペアリングは、楕円曲線のそれとは異なり、最終指数化を必要とせず、計算上の利点を有する。
• 双曲的 Ate ペアリングのミラー・ループ長は、Tate ペアリングの約半分であり、効率性が向上する。
• genus 2 曲線において、埋め込み次数が小さい通常曲線の最小ρ値は約 20/9 であり、理想的な ρ < 2 には届かない。
• Hess-Vercauteren (HV) ペアリングフレームワークは、Ate および R-ate ペアリングを一般化し、埋め込み次数に応じてより短いループを有する変種を含む。
• 除法上の関数評価の複雑さのため、双曲的曲線におけるペアリング計算は、楕円曲線におけるものよりも依然として高コストであることが判明した。
• genus 2 以上のジャコビアンを必要とし、楕円曲線では実現できない既知の暗号的応用は発見されていない。