[論文レビュー] Pairs of Fan-type heavy subgraphs for pancyclicity of 2-connected graphs

Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ファン型の重い部分グラフ条件を導入することで、2-連結グラフがパンシクルであるための十分条件を確立する。具体的には、2-連結グラフがクラウン-$f_1$-重いかつ $S$-$f_1$-重い（$S = P_4$, $Z_1$, または $Z_2$ のいずれか）ならば、そのグラフはパンシクルである。主な結果は、バドロシアンの禁止部分グラフ特徴付けを、禁止部分グラフの代わりに次数に基づく重い部分グラフ条件に置き換えることで一般化し、ファンのハミルトン性基準をパンシクル性へと拡張する。

ABSTRACT

A graph $G$ on $n$ vertices is Hamiltonian if it contains a spanning cycle, and pancyclic if it contains cycles of all lengths from 3 to $n$. In 1984, Fan presented a degree condition involving every pair of vertices at distance two for a 2-connected graph to be Hamiltonian. Motivated by Fan's result, we say that an induced subgraph $H$ of $G$ is $f_1$-heavy if for every pair of vertices $u,v\in V(H)$, $d_{H}(u,v)=2$ implies $\max\{d(u),d(v)\}\geq (n+1)/2$. For a given graph $R$, $G$ is called $R$-$f_1$-heavy if every induced subgraph of $G$ isomorphic to $R$ is $f_1$-heavy. In this paper we show that for a connected graph $S$ with $S eq P_3$ and a 2-connected claw-$f_1$-heavy graph $G$ which is not a cycle, $G$ being $S$-$f_1$-heavy implies $G$ is pancyclic if $S=P_4,Z_1$ or $Z_2$, where claw is $K_{1,3}$ and $Z_i$ is the path $a_1a_2a_3... a_{i+2}a_{i+3}$ plus the edge $a_1a_3$. Our result partially improves a previous theorem due to Bedrossian on pancyclicity of 2-connected graphs.

研究の動機と目的

• ファンの1984年のハミルトン性基準をパンシクル性へと拡張するために、次数に基づく重い部分グラフ条件を導入すること。
• 2-連結グラフにおいてパンシクル性を保証するような、$P_3$ 以外の連結グラフ $R$ と $S$ のペアを同定すること。
• バドロシアンの禁止部分グラフ定理を一般化し、$\{R,S\}$-フリー性の代わりに $\{R,S\}$-$f_1$-重い性質を用いること。
• ファン型条件の自然な拡張をパンシクル性へと適用し、特にクラウンおよびパスに類似した部分グラフに対して検討すること。
• 問題1（ペアのグラフの $f_1$-重さがパンシクル性を保証する条件を特徴付けること）に対する部分的な解答を提供すること。

提案手法

• 「$f_1$-重さ」を定義する：任意の部分グラフ $H \cong R$ に対して、$d_H(u,v) = 2$ ならば $\max\{d(u), d(v)\} \geq (n+1)/2$ が成り立つこと。
• 超重いペアと $C$-距離の概念を用いて、非パンシクル性の仮定の下でサイクル構造を分析し、矛盾を導出する。
• 帰納法と頂点削除技術を適用し、パスまたはサイクルの頂点を削除することで、元のグラフ $G$ からより小さいグラフ $G'$ を構成し、重要な次数および連結性の性質を保持する。
• 既知の結果（$P_3$-$f_1$-重さがパンシクル性を保証する）を用い、クラウンおよび $Z_2$-部分グラフの構造的解析によりこれを拡張する。
• 非超重いペアおよびクラウンや $Z_2$ のような誘導部分グラフの存在に基づく背理法を用い、$f_1$-重さ条件を活用して高次元の頂点を強制的に導く。
• 補題3（ハミルトンサイクルとサイクルスペクトルに関するもの）を適用し、$G'$ がハミルトンサイクルを持ち、かつ $d_{G'}(x)+d_{G'}(y) \geq |G'|$ ならば、$G'$ はパンシクルまたは二部グラフであることを示し、三角形の存在により二部グラフのケースを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの連結グラフのペア $R$ と $S$（ただし $S \neq P_3$）が、2-連結グラフにおいて $\{R,S\}$-$f_1$-重さがパンシクル性を保証するか？
• RQ2 パンシクル性定理において、禁止部分グラフ条件を、誘導部分グラフのファン型次数条件に置き換えることは可能か？
• RQ3 $K_{1,3}$-$f_1$-重さと $P_4$-$f_1$-重さが、サイクルでない2-連結グラフにおいてパンシクル性を保証するか？
• RQ4 $Z_2$-部分グラフは、$f_1$-重さの下でパンシクル性を強制するために果たす役割は何か？
• RQ5 超重いペアと $C$-距離は、$f_1$-重さの下でパンシクル性を証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• 2-連結グラフ $G$ がクラウン-$f_1$-重いかつ $Z_2$-$f_1$-重いならば、$G$ がサイクルでない限りパンシクルである。
• この結果は、$K_{1,3}$-$f_1$-重さと $P_4$-$f_1$-重さが同時に成り立つと、サイクルでない2-連結グラフはパンシクルであることを示唆する。
• 本稿は、$K_{1,3}$-$f_1$-重さと $Z_1$-$f_1$-重さが同時に成り立つとパンシクル性が保証されることを示し、バドロシアンの結果を次数に基づく条件へと拡張する。
• $n \geq 6$ に対して、$G$ が $\{K_{1,3}, Z_2\}$-$f_1$-重いでかつ2-連結ならば、$G$ は3から $n$ までのすべての長さのサイクルを含むが、まれな例外ケースを除いてはそうである。
• 証明では、$G$ がパンシクルでないと仮定し、超重いペアの分析と次数制約を用いて構造的矛盾を導く背理法を用いる。
• 本稿は、$S$-$f_1$-重さが単独でパンシクル性を保証する唯一の連結グラフ $S$ が $P_3$ であることを確認しており、ペアのグラフへの拡張が非自明であることを示している。