[論文レビュー] Pairs of k-free Numbers, consecutive square-full Numbers

Thomas Reuss|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、近似行列式法の強化版を用いて、$k$-自由整数の対および$r$-組の漸近公式における誤差項を改善した。ヘイズ・ブラウン、ブランドス、ディートマン＝マルモン、ツァンの先行研究よりも、より緊密な誤差指数を達成し、ペル方程式の基本単数に関する境界を導出し、ほとんどすべての$D$に対して$ \epsilon_D > D^\theta$（$ \theta < 3$）を示した。主な進展は、最適なパrameter選択による行列式法を用いた精密な推定である。

ABSTRACT

We consider the error term of the asymptotic formula for the number of pairs of $k$-free integers up to $x$. Our error term improves results by Heath-Brown, Brandes and Dietmann/Marmon. We then extend our results to $r$-tuples of $k$-free numbers and improve previous results by Tsang. Furthermore, we establish an error term for consecutive square-full integers. Finally, we will show that for all $θ&lt;3$ and for almost all $D$, the fundamental solution $ε_D$ associated to the Pell equation $x^2-Dy^2=1$ satisfies $ε_D&gt; D^θ$. This improves/recovers previous results by Fouvry and Jouve. The main tool of our work is the approximate determinant method.

研究の動機と目的

• $x$ 以下の$k$-自由整数の対の数の漸近公式における誤差項を、ヘイズ・ブラウン、ブランドス、ディートマン＝マルモンの結果を上回るように精緻化すること。
• $r$-組の$k$-自由整数における誤差項の分析を拡張し、ツァンの先行結果を改善すること。
• 連続する平方因子をもつ整数（consecutive square-full integers）という、関連するが異なる算術的数え上げ問題に対して、新たな誤差項を確立すること。
• すべての$\theta < 3$に対して、ペル方程式$x^2 - Dy^2 = 1$の基本単数$\epsilon_D$が、ほとんどすべての$D$に対して$\epsilon_D > D^\theta$を満たすことを証明し、フーブリとジューヴの結果を回復・改善すること。

提案手法

• 主な道具は、$e^k v^l - d^k u^l = h$という多様体上の整数点を数えるために適応された、近似行列式法の一般化されたバージョンであり、$d,e,u,v$ のサイズ制約を伴う。
• この方法は、$t = v/u$ および $s = d/e$ とおくと、曲線$t = s^{k/l}$の近くの有理点の数え上げに帰着され、数論的幾何の性質を活用する。
• 主な革新点は、$\log M = \frac{9}{8} \frac{\log(DE)\log(UV)}{\log x}$ で定義されるパrameter $M$ の導入であり、これにより数え上げ境界における誤差を制御する。
• 証明では定理1を適用して、解の個数$\mathcal{N}(x;D,E)$ を評価し、$\mathcal{N}(x;D,E) \ll_{\epsilon,k,l,h} x^\epsilon \min\{(DEM)^{1/2} + D + E, (UVM)^{1/2} + U + V\}$ の推定を得た。
• $k$-自由対への応用では、$l=1$ としてこの方法を適用し、境界におけるパrameter $\psi$ に関する最適化により誤差指数$\omega(k)$ を導出した。
• ペル方程式の単数への応用では、$\epsilon_D$ の大きさを関連するディオファントス方程式の解の個数と結びつけることで、同じ行列式枠組みを用いて拡張した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在の最良の境界を超えて、$k$-自由整数の対の漸近公式における誤差項を改善できるか？
• RQ2 $r$-組の$k$-自由整数における最適な誤差指数$\omega(k)$は何か？ そして、現代の解析的手法を用いて改善可能か？
• RQ3 近似行列式法を精緻化することで、連続する平方因子をもつ整数に対するより強い境界を得られるか？
• RQ4 ペル方程式$x^2 - Dy^2 = 1$において、ほとんどすべての$D$に対して$\epsilon_D > D^\theta$が成り立つような、最良の指数$\theta$は何か？

主な発見

• $k$-自由整数の対に対する誤差項は、$\omega(k) = \frac{26 + \sqrt{433}}{81} \approx 0.578$（$k=2$）および$\omega(k) = \frac{169}{144k}$（$k \geq 3$）で、$O_{\epsilon,k,h}(x^{\omega(k)+\epsilon})$ に改善された。これはブランドスおよびディートマン＝マルモンの先行結果よりも小さい。
• $r$-組の$k$-自由整数に対しては、ツァンの結果を上回る誤差項を伴う漸近公式が得られたが、抽象部では正確な指数は明示されていない。
• 連続する平方因子をもつ整数に対しても誤差項が確立され、この方法の適用範囲が$k$-自由整数を超えて拡張された。
• すべての$\theta < 3$に対して、ペル方程式$x^2 - Dy^2 = 1$の基本単数$\epsilon_D$が、ほとんどすべての$D$に対して$\epsilon_D > D^\theta$を満たすことを証明した。これはフーブリとジューヴの結果を回復・改善した。
• 条件$D,E,U,V,x$ の下で、$M$ を$\log(DE)$ および$\log(UV)$ を含む対数的表現で定義することで、$\mathcal{N}(x;D,E) \ll_{\epsilon} x^\epsilon \min\{(DEM)^{1/2} + D + E, (UVM)^{1/2} + U + V\}$ の境界が導出された。
• 最適な誤差指数$\omega(k)$ は、境界におけるパrameter $\psi$ に関する最適化により達成され、関数$f(\psi)$ の最大値は$\psi = 2/5$ で達成され、$f(2/5) = 29/100$ となる。