[論文レビュー] Pairs of positive solutions for resonant singular equations with the $p$-Laplacian

Nikolaos S. Papageorgiou, Vicenţiu D. Rădulescu+1 more|Repository of the University of Ljubljana (University of Ljubljana)|Oct 7, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、p-ラプラシアンに起因する特異項 $u^{-\mu}$ と、正の無限大における第1固有値に関して共鳴する $(p-1)$-線形摂動項 $f(z,u)$ を持つ共鳴的特異楕円型方程式に対して、少なくとも2つの正の滑らかな解の存在を確立する。変分法、切り上げ技術、およびマウンテンパス定理を用いて、$f$ に関する適切な仮定の下で、臨界点理論により多重性を証明する。主たる貢献は、p-ラプラシアンを用いた特異的共鳴問題における新たな多重性結果の確立である。

ABSTRACT

We consider a nonlinear elliptic equation driven by the Dirichlet $p$-Laplacian with a singular term and a $(p-1)$-linear perturbation which is resonant at $+\infty$ with respect to the principal eigenvalue. Using variational tools, together with suitable truncation and comparison techniques, we show the existence of at least two positive smooth solutions.

研究の動機と目的

• 特異楕円型方程式にp-ラプラシアンと共鳴的非線形項を含む場合の複数の正の解の存在を確立すること。
• 反応項に $0 < \mu < 1$ を満たす特異項 $u^{-\mu}$ と、$+\infty$ における $(p-1)$-線形成長摂動項 $f(z,u)$ が含まれる場合を分析すること。
• 特異性と共鳴性をp-ラプラシアンの文脈に組み込むことで、既存の特異問題における多重性結果を拡張すること。
• 特異性と共鳴構造を扱うために、切り上げと比較技術を用いた変分的枠組みを提供すること。

提案手法

• エネルギー汎関数の臨界点を同定するために、マウンテンパス定理を用いる。
• 反応項 $f(z,u)$ を、制御された成長を有するCarathéodory関数に変更するための切り上げ技術を適用し、変分法の適用を可能にする。
• Sobolev空間 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 内でPalais-Smale列のコンパクト性を保証するために、Cerami条件を用いる。
• 比較原理および強最大値原理を用いて、$\mathrm{int}\,C_+$ 内の解の正値性と正則性を確立する。
• 解を順序区間 $[\underline{u}, w]$ の中で閉じ込めるために、下界解 $\underline{u}$ と上界解 $w$ を構成し、正値性を保証する。
• 特に第1固有値 $\hat{\lambda}_1$ を含むp-ラプラシアンのスペクトル理論を用いて、共鳴条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的共鳴的p-ラプラシアン問題が、2つ以上の正の解を有するための条件は何か？
• RQ2 非線形楕円型偏微分方程式において、特異性と共鳴性を同時に扱うために変分法をどのように適合させることができるか？
• RQ3 無限大における摂動項 $f(z,u)$ の $(p-1)$-線形成長が、解の多重性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 第1固有値における特異項と共鳴性が存在する状況でも、マウンテンパス定理を効果的に適用できるか？
• RQ5 切り上げと比較技術は、特異的かつ共鳴的設定下で、2つの異なる正の解の存在を証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• 仮定 (H1) の下で、$\mathrm{int}\,C_+$ 内に少なくとも2つの正の滑らかな解 $u_0$ と $\hat{u}$ が存在する。
• 最初の解 $u_0$ は、$C^1_0(\overline{\Omega})$ 内のエネルギー汎関数 $\varphi_0$ の局所最小点であり、$W^{1,p}_0(\Omega)$ 内の局所最小点である。
• 2番目の解 $\hat{u}$ はマウンテンパス定理によって得られ、$\varphi_0(\hat{u}) \geq m_\rho > \varphi_0(u_0)$ を満たすため、$u_0$ とは異なることが保証される。
• エネルギー汎関数 $\varphi_0$ はCerami条件を満たし、任意の有界なPalais-Smale列に対して収束部分列の存在を保証する。
• 汎関数 $\varphi_0$ は順序区間 $[\underline{u}, w]$ 上で下に有界であり、その臨界点は $[\underline{u}, w] \cap C_+$ 内に存在するため、正値性が保証される。
• $F(z,x)/x^p$ の漸近的挙動は、$\limsup_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \leq \eta(z)$ および $\liminf_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \geq \hat{\lambda}_1$ を満たし、第1固有値に関する正の無限大における共鳴が確認される。